第22讲 圆与圆的位置关系.doc

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1、第22讲圆与圆的位置关系一、学习目标1.了解两圆的位置关系.2.会用两圆的半径、圆心距之间的数量关系判定两圆的位置关系.3.了解两圆连心线的性质；4.利用两圆的位置关系解决一些简单的实际问题.考情分析圆与圆的位置关系也是历年全国各地中考的考点之一，题型多以选择题和填空题为主，常和二元一次方程组、一元一次不等式、一元二次方程的解法、运动型问题相结合，解答时注意全面考虑，以免漏解.二、基础知识·轻松学1.圆与圆的位置关系有关定义（1）圆与圆的位置关系按公共点的个数可概括为相离、相切、相交.①两圆相离：如果两个圆没有公共点，那么就说这两个圆

2、相离.两圆相离包括两种情况——外离和内含.②两圆相切：如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切.两圆相切包括两种情况——外切和内切.③两圆相交：两圆有两个公共点时，叫做这两个圆相交.【精讲】①两圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做两圆外离；两圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部时，就叫做两圆内含.②两圆只有一个公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的外部时，叫做两圆外切；两圆只有一个公共点，并且除了这个公共点外，每个圆上的点都在另一个圆的内部时，叫做两圆内切，这个公共点叫做切点.③

3、同心圆：两圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两个圆的圆心重合.两圆同心是两圆内含的一种特例.（2）圆与圆的位置关系中存在的数量关系用数形结合的思想来理解两圆的位置关系，设两圆的半径分别为R和r，圆心距（圆心间的距离）为d.列表如下位置关系图形公共点个数R、r与d的关系外离0d＞R+r外切1d=R＋r相交2R－r＜d＜R+r（R≥r）内切1d=R－r（R＞r）内含0d＜R—r（R＞r）【精讲】①判断圆与圆的位置关系可以根据两圆交点的个数，也可以利用d与R、r的关系.②同心圆是内含的一种特例，此时d=0.③两圆相交中R、r

4、与d的关系可由三角形的三边关系总结.2.两圆的连心线及其性质（1）连心线是通过圆心的直线.（2）公共弦：相交的两圆中，连接两个交点的弦叫做公共弦.（3）如果两圆相切，那么切点一定在连心线上；相交两圆的连心线垂直平分公共弦.【精讲】①无论两圆内切还是外切，连心线必过切点.②因为圆的每条直径所在的直线都是圆的对称轴，所以两圆的连心线所在的直线就是两圆的对称轴.③在圆与圆的位置关系中，圆周角、圆心角、垂径定理、切线等概念和性质依然可以应用于每个圆中.三、重难疑点·轻松破1.判断两圆的位置关系分析两圆位置关系的题目中，一般都要连接两个圆的圆心

5、，通过圆心距与两圆的半径关系来判断.当圆心距大于两半径之和时，两圆外离；当圆心距小于两边之差时，两圆内含；当圆心距等于两半径之和时，两圆外切；当圆心距等于两半径之差时，两圆内切；当圆心距在两半径之和与两半径之差之间时，两圆相交．例1已知：如图22-1，△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝8，以AC为直径作⊙O，以B为圆心，4为半径作圆．求证：⊙O与⊙B相外切．解析：证明⊙O与⊙B相外切，就要证明它们的半径之和等于圆心距．即证明⊙O的半径与⊙B的半径之和等于BO．连接BO，∵AC为⊙O的直径，AC＝12，∴⊙O的半径，且O是AC

6、的中点，∴.∵∠C=90°且BC=8，∴由勾股定理得，∵⊙O的半径，⊙B的半径，∴BO=，∴⊙O与⊙B相外切．点评：连接圆心，计算圆心距等于两半径之和，则两圆外切．变式1（2013·四川巴中）若⊙O1和⊙O2的圆心距为4，两圆半径分别为r1、r2，且r1、r2是方程组的解，求r1、r2的值，并判断两圆的位置关系．解析：首先由r1、r2是方程组的解，，所以两圆半径之和是5，两2.根据两圆的位置关系确定字母的取值范围由圆与圆的位置关系可知圆心距和两圆半径之间的数量关系，建立方程或不等式（组），便可求得有关字母的值或取值范围.当两圆位于平面

7、直角坐标系中时，要结合题意分析图形，根据点的坐标和线段长度之间的相互转化来解答有关问题.例2如图22-2，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为(a，0)，半径为5，如果两圆内含，那么a的取值范围是_________．答案：－2＜a＜2.解析：根据两圆圆心坐标可知，圆心距=

8、a-0

9、=

10、a

11、，因为，两圆内含时，圆心距＜5-3，即

12、a

13、＜2，解得－2＜a＜2．点评：根据内含两圆的圆心距，判断出大圆圆心到小圆圆心（原点）的长度范围，从而判断大圆圆心的位置，得出a的范围．当两圆圆心同在x轴（或y轴）上时，圆心距等于两点横坐标（或纵坐标

14、）之差的绝对值．图22-2图22-3变式练习2（2013•烟台）如图22-3，已知⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为2cm，将⊙O1，⊙O2放置在直线l上，如果⊙O1在直线l上任意滚动，那么圆心距O1O2的长不可能是（