2011年广州一模理科数学试题纯word版.doc

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试卷类型:A2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）2011.3一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，,则（A．B．C．D．2.若复数ii是实数i是虚数单位，则实数的值为　A．B．C．D．3.已知向量,,且，则的值为A．B．C．D．4.函数在区间上A．是减函数B．是增函数C．有极小值D．有极大值开始＝3k＝k＋1输出k,n结束是否输入5.阅读图1的程序框图.若输入,则输出的值为.A．B．C．D．6.“”是“”成立的A．充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.将18个参加青少年科技创新大赛的名额分配给3所学校,要求每校至少有一个名额且各校分配的名额互不相等,则不同的分配方法种数为A．96B．114 C．128D．136图18.如图2所示,已知正方体的棱长为2,长为2的线段的一个端点在棱上运动,另一端点在正方形内运动,则的中点的轨迹的面积为A．B．C．D．图2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.（一）必做题（9～13题）9.为了了解某地居民月均用电的基本情况,抽取出该地区若干户居民的用电数据,得到频率分布直方图如图3所示,若月均用电量在区间上共有150户,则月均用电量在区间上的居民共有户.10.以抛物线上的一点为圆心作圆，若该圆经过抛物线的顶点和焦点，那么该圆的方程为.11.已知数列是等差数列,若,则该数列前11项的和为.12.△的三个内角、、所对边的长分别为、、，已知,则的值为.13.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件则该校招聘的教师最多是名. （二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14.(几何证明选讲选做题)如图4,是圆的切线,切点为,点、在圆上，，则圆的面积为.15.(坐标系与参数方程选讲选做题)在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于、两点，则.图4三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.（本小题满分12分）已知函数(R).(1)当取什么值时,函数取得最大值,并求其最大值;(2)若为锐角，且，求的值.17.（本小题满分12分）某企业生产的一批产品中有一、二、三等品及次品共四个等级，1件不同等级产品的利润（单位：元）如表1，从这批产品中随机抽取出1件产品，该件产品为不同等级的概率如表2.若从这批产品中随机抽取出的1件产品的平均利润(即数学期望)为元.等级一等品二等品三等品次品等级一等品二等品三等品次品利润表1表2(1)求的值；(2)从这批产品中随机取出3件产品，求这3件产品的总利润不低于17元的概率. 18.（本小题满分14分）如图5，在三棱柱中，侧棱底面,为的中点,.(1)求证：平面；(2)若四棱锥的体积为,求二面角的正切值.图519.（本小题满分14分）已知直线上有一个动点,过点作直线垂直于轴,动点在上,且满足(为坐标原点),记点的轨迹为.(1)求曲线的方程；(2)若直线是曲线的一条切线,当点到直线的距离最短时,求直线的方程.20.（本小题满分14分）已知函数满足,对于任意R都有,且 ,令.(1)求函数的表达式；(2)求函数的单调区间；(3)研究函数在区间上的零点个数.21.（本小题满分14分）已知函数的定义域为R,且对于任意R,存在正实数,使得都成立.(1)若,求的取值范围；(2)当时，数列满足，.①证明：；②令，证明：.2011年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题主要考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分. 题号12345678答案ACBCBABD二、填空题：本大题主要考查基本知识和基本运算．本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题．说明：第10小题写对一个答案给3分.9.10.11.3312.13.1014.15.三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16．（本小题满分12分）(本小题主要考查三角函数性质,同角三角函数的基本关系、两倍角公式等知识,考查化归与转化的数学思想方法和运算求解能力)(1)解:……1分……2分.……3分∴当,即Z时,函数取得最大值,其值为.……5分(2)解法1:∵,∴.……6分∴.……7分∵为锐角，即,∴.∴.……8分∴.……9分∴.……10分∴. ∴.∴或(不合题意,舍去)……11分∴.……12分解法2:∵,∴.∴.……7分∴.……8分∵为锐角，即,∴.……9分∴.……10分∴.……12分解法3:∵,∴.∴.……7分∵为锐角，即,∴.∴.……8分∴……9分……10分.……12分 17．（本小题满分12分）(本小题主要考查数学期望、概率等知识,考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识)（1）解：设1件产品的利润为随机变量，依题意得的分布列为：……2分∴,即.……3分∵,即,……4分解得.∴.……6分(2)解：为了使所取出的3件产品的总利润不低于17元，则这3件产品可以有两种取法：3件都是一等品或2件一等品，1件二等品.……8分故所求的概率C.……12分18.（本小题满分14分）(本小题主要考查空间线面关系、二面角的平面角、锥体的体积等知识,考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力)（1）证明:连接,设与相交于点,连接,∵四边形是平行四边形,∴点为的中点.∵为的中点，∴为△的中位线,∴.……2分∵平面,平面,∴平面.……4分(2)解:依题意知，， ∵平面,平面,∴平面平面，且平面平面.作，垂足为，则平面，……6分设，在Rt△中，，，∴四棱锥的体积.……8分依题意得，，即.……9分(以下求二面角的正切值提供两种解法)解法1:∵,平面，平面，∴平面.取的中点，连接，则,且.∴平面.作，垂足为，连接，由于，且，∴平面.∵平面,∴.∴为二面角的平面角.……12分由Rt△～Rt△,得, 得,在Rt△中,.∴二面角的正切值为.……14分解法2:∵,平面，平面，∴平面.以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴,轴和轴,建立空间直角坐标系.则,,,.∴,设平面的法向量为,由及,得令,得.故平面的一个法向量为,……11分又平面的一个法向量为,∴,.……12分∴,.……13分∴,. ∴二面角的正切值为.……14分19．（本小题满分14分）(本小题主要考查求曲线的轨迹方程、点到直线的距离、曲线的切线等知识,考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)解:设点的坐标为,则点的坐标为.∵,∴.当时,得,化简得.……2分当时,、、三点共线，不符合题意，故.∴曲线的方程为.……4分(2)解法1:∵直线与曲线相切,∴直线的斜率存在.设直线的方程为,……5分由得.∵直线与曲线相切,∴,即.……6分点到直线的距离……7分……8分……9分.……10分当且仅当，即时，等号成立.此时.……12分 ∴直线的方程为或.……14分解法2：由，得，……5分∵直线与曲线相切,设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得.……6分点到直线的距离……7分……8分……9分.……10分当且仅当，即时，等号成立.……12分∴直线的方程为或.……14分解法3：由，得，……5分∵直线与曲线相切,设切点的坐标为，其中，则直线的方程为：，化简得.……6分点到直线的距离……7分……8分……9分.……10分当且仅当，即时，等号成立,此时.……12分 ∴直线的方程为或.……14分20．（本小题满分14分）(本小题主要考查二次函数、函数的性质、函数的零点、分段函数等知识,考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识)(1)解：∵，∴.……1分∵对于任意R都有,∴函数的对称轴为，即，得.……2分又，即对于任意R都成立，∴,且．　　　　∵，∴．　　　　∴．……4分(2)解：……5分①当时，函数的对称轴为，若，即，函数在上单调递增；……6分若，即，函数在上单调递增，在上单调递减．……7分②当时，函数的对称轴为，　则函数在上单调递增，在上单调递减．……8分综上所述，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为 ；……9分当时，函数单调递增区间为和，单调递减区间为和．……10分(3)解：①当时，由(2)知函数在区间上单调递增，　　　　　又，　　　　　故函数在区间上只有一个零点．……11分　　　　②当时，则，而，　　　　，（ⅰ）若，由于，且，此时，函数在区间上只有一个零点；……12分　　　　（ⅱ）若，由于且，此时，函数在区间上有两个不同的零点．……13分　　　综上所述，当时，函数在区间上只有一个零点；　　　　　　　　当时，函数在区间上有两个不同的零点．……14分21．（本小题满分14分）(本小题主要考查函数、数列求和、绝对值不等式等知识,考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)(1)证明：对任意R，有 .……2分由,即.当时,得.且，∴.……4分∴要使对任意R都成立,只要.当时,恒成立.∴的取值范围是.……5分(2)证明：①∵，,故当时，.……6分∴……7分.……8分∵,∴当时,不等式也成立.……9分②∵, ∴.……11分∴.……14分