2005年广州一模理科数学试题与答案word版

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1、试卷类型：A2005年广州市普通高中毕业综合测试（一）数学2005-3-22一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合，，则（　　）A．B．C．D．2.若函数，则（　　）A．B．C．D．3.如图所示，在两个圆盘中，指针在本圆盘每个数所在区域的机会均等，那么两个指针同时落在奇数所在区域的概率是（　　）A．B．C．D．4.复数与（）的积是纯虚数的充要条件是（　　）A．B．C．且D．且5.已知向量和向量的夹角为，，，那么（　　）A．B．C．D．第9页·共9页1.若，则的值为（　　）A．B．C．D．2.在圆上的所

2、有点中，到直线的距离最大的点的坐标是（　　）A．B．C．D．3.在的展开式中，的系数是（　　）A．B．C．D．4.设函数，则使得的自变量的取值范围是（　　）A．B．C．D．5.设、、、是半径为2的球面上的四个不同的点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是（　　）A．B．C．D．第二部分非选择题（共100分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。6.不等式的解集是　　　　　　。7.如图，在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则三棱锥的体积为　　　　　。8.在小于100的正整数中共有　　　　个数被5整除余2，这些数的和是　　　　。9.的三个顶点的坐标为，，，点

3、在内部及边界上运动，则的最大值为　　　　，最小值为　　　　。第9页·共9页第9页·共9页三、解答题：本大题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程。1.（本小题满分12分）求函数（）的最小正周期、最大值和最小值。2.（本小题满分12分）已知函数（）在时有极值，其图象在点处的切线与直线平行。（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）求函数的单调区间。3.（本小题满分14分）如图，在正三棱柱中，、分别是棱、的中点，。（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）求二面角的大小。第9页·共9页1.（本小题满分14分）乙两人各有相同的小球10个，在每人的10个小球中都有5个标有数字1，3个标有数字2，2个标有数字

4、3。两人同时分别从自己的小球中任意抽取1个，规定：若提取的两个球上的数字相同，则甲胜，否则为乙胜。（Ⅰ）求乙获胜的概率；（Ⅱ）若又规定：抽取的两个小球上的数字都有1时，甲胜且得1分；抽取的两个小球上的数字都为2时，甲胜且得2分；抽取的两个小球上的数字都为3时，甲胜且得3分；甲败则得0分。求甲得分的数学期望。2.（本小题满分14分）已知定义在实数集上的函数满足：；当时，；对于任意的实数、都有。（Ⅰ）证明：为奇函数；（Ⅱ）若数列满足条件：，（），证明：。3.（本小题满分14分）已知双曲线的中心在坐标原点，对称轴为坐标轴，离心率，一条准线的方程为。（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线过

5、点且斜率为（），问：在双曲线的右支上是否存在唯一点，它到直线的距离等于1。若存在，则求出符合条件的所有的值及相应点的坐标；若不存在，请说明理由。第9页·共9页2005年广州市普通高中毕业综合测试（一）数学参考答案一、选择题：题号12345678910答案CAADDCBACB二、填空题：11．12．13．，14．，三、解答题：15．解：由得最小正周期，最大值，最小值。16．解：（Ⅰ）。依题意，得；（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知。故由，，即函数的单调递增区间为、，单调递减区间为。17．解：如图建立空间直角坐标系，则（Ⅰ）证明：因为，，，，所以，，故，因此，有；（Ⅱ）设是平面的法向量，第9页

6、·共9页因为，，所以由可取；同理，是平面的法向量。设二面角的平面角为，则。18．解：（Ⅰ）乙获胜的概率为；（Ⅱ）设甲得分为，则的可能取值为、、、，其分布列为：从而甲得分的数学期望是。19．证明：（Ⅰ）因为对于任意的实数、都有，故令得，再令得，即，所以是奇函数；（Ⅱ）设且，则，故，从而，所以在上是增函数。又因为，，所以当时，有。……①由，即有。……②下面用数学归纳法证明：对任意的，都有。⑴当时，命题显然成立；⑵假定当时，命题成立，即，则由①知：，由此及②得，即当时，命题也成立。第9页·共9页由⑴、⑵及数学归纳法原理知：上述命题成立。20．解：（Ⅰ）依题意，可设双曲线的方程为（，）

7、，则，即双曲线的方程为；（Ⅱ）依题意，直线的方程为（），设为双曲线上到直线的距离等于1的点，则。⑴若，则直线与双曲线右支相交，故双曲线的右支上有两个点到直线的距离等于1，与题意矛盾；⑵若（如图所示），则直线在双曲线的右支的上方，故，从而有。又因为，所以有，整理，得。……（★）①若，则由（★）得，，即；②若，则方程（★）必有相等的两个实数根，故由，第9页·共9页解之得（不合题意，舍去），此时有，，即。综上所述，符合条件的的值有两个：，此时；，此时。第9页·共9页