三角函数中辅助角公式的应用.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯辅助角公式在高考三角题中得应用对于形如y=asinx+bcosx的三角式，可变形如下：y=asinx=bcosxa2b2(sinx·ab2cosx·b)。a2a2b2上式中的a与b的平方和为1，故可记ab=sinθ，a2a2a2=cosθ，a2b2b2b2b2ya2b2(sixncoscosxsin)则a2b2sinx()。由此我们得到结论：asinx+bcosx=a2b2sin(x)，（*）其中θ由absi

2、n来确定。通常称式子（*）为辅助角公式，它可以将多a2cos,a2b2b2个三角式的函数问题，最终化为y=Asin(x)+k的形式。下面结合近年高考三角题，就辅助角公式的应用，举例分类简析。一.求周期例1求函数y2cos(x)cos(x)3sin2x的最小正周期。44解：y2cos(x)sin(x)3sin2x44sin(2x)3sin2x23sin2xcos2x2sin(2x)6所以函数y的最小正周期T=π。评注：将三角式化为y=Asin(x)+k的形式，是求周期的主要途径。二.求最值例2.已知

3、函数f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x。若x[0,]，求f(x)的最大值和最小值。21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：f(x)=(cos2x+sin2x)(cos2x-sin2x)-sin2x=cos2x-sin2x=2sin(2x)。4由0≤x≤2≤2x4≤3。44当2x，即x=0时，sin(2x)最小值2；4442当2x3时sin(2x)取最大值1。2，即x484从而f(x)在[0,]上的最大值是1，最小值是2。2

4、三.求单调区间例3.已知向量→(2cosx,tan(x4))，→(2sin(x)，tan(x))，令a22b2424f(x)→→，求函数f(x)在[0，π]上的单调区间。ab解：f(x)→·→ab22cosxsin(x)tan(x4)tan(x4)22422x2x2x1tanxtanx122·22cos(sincos)x222221tanx1tan222sinxcosx2cos2x1222sinxcosx2sin(x)。4先由0≤x≤≤x≤5。444反之再由≤x≤0≤x≤；≤x4≤5≤x≤。442

5、4244所以f(x)在[0，4]上单调递增，在[，]上单调递减。4评注：以向量的形式给出条件或结论，是近两年来三角命题的新趋势，但最终仍要归结为三角式的变形问题。而化为y=Asin(ωx+)+k的形式，是求单调区间的通法。2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯四.求值域6k16k1例4.求函数f(x)cos(2x)cos(2x)23sin(2x)333(xR,kZ)的值域。解：f(x)cos(2k2x)cos(2k2x)23sin(2x)333

6、2cos(2x)23sin(32x)34[sin(2x)coscos(2x)sin]36364sin(2x)。2所以函数f(x)的值域是[-4，4]。五.图象对称问题例6.如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线x=对称，那么a=()8（A）2（B）2（）（D）-1C1解：可化为y1a2sin(2x)。知x时，y取得最值±1a2，即8sin2()acos2()±1a2882(1a)±1a221(1a)21a22a22a10a1选（D）。六.图象变换例7已知函数y1cos23sinxcos

7、x1,xR。该函数的图象可由ysinx(xR)的22图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：y13(1cos2x)sin2x1443⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1(sin2xcoscos2xsin526)641sin(2x)5。264可将函数y=sinx的图象依次进行下述变换：（1）向左平移，得到y=sin(x+)的图象；66（2）将（1）中所得图象上各点横坐标变为原来的1倍，纵坐标不变，得y=sin(2x)的26图象；（3）将（2）中所

8、得图象上各点纵坐标变为原来的1倍，横坐标不变，得y=1sin(2x+)226的图象；（4）将（3）中所得图象向上平移5个单位长度，得到y=1sin(2x+)+5的图象。4264综上，依次经过四步变换，可得y=1cos2x3sinxcosx1的图象。22七.求值例8.已知函数f(x)=3sin2x+sinxcosx。设α∈（0，π），f()=13，求sinα的值。242解：f(x)=3(1cos2x)1sin2x=sin(2x)3。2232由f()=sin()313，23242得si