辅助公式在三角函数问题中应用

《辅助公式在三角函数问题中应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、辅助公式在三角函数问题中的应用浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平由两角和与差的三角逆用公式将引入辅助角合并为（其中为辅助角且）的形式，它在三角进行恒等变形上有着巨大的作用，作为三角问题中的重要公式在历年高考中屡见不鲜。本文就辅助公式在三角函数性质解题中的主要应用进行归纳总结，以引起同学们重视。1．求函数的定义域例1．求函数的定义域分析：要使函数有意义，只需根式内为非负数即可解：，即，故原函数的定义域为【评注】在求原函数定义域时应把函数解析式尽量化简后求定义域，当然在化简的过程中也要注意等价性。2．求函数的值域例2．求的值域；分析：本题的解法有很多，除了代数

2、函数最值的求法外，常见的有数形结合，转化为斜率问题和三角函数的有界性求解等，其中三角函数的有界性求解是最基本的解法。解：由原式变形为得（其中），两边平方得到：【评注】值域与最值是紧密相连的，由于三角函数中公式多，变形多，对求最值的方法也不拘一格，但利用变形求值域和最值也有它的独到之处。1．求函数的周期例3.求函数的最小正周期分析：通过三角公式的变换将原函数化为单一函数，再用周期公式求得。解：（其中），【评注】将函数化成这种单一函数的形式后，求函数的最小正周期就可用周期公式；由于中值的大小对周期没有影响，因此在求周期时我们可以不求出确切的值。2．求函数的单调区间例4

3、.求函数的单调递增区间分析：利用辅助公式化为单一函数，再用复合函数求单调区间的方法求之解：令，则，因在为增函数，即得；故即时原函数为增函数，故函数的增区间为。【评注】求复合函数的单调区间时，一定要注意函数的定义域及复合函数单调区间法则：同增同减为增，一增一减为减。3．求函数的奇偶性例5.判断函数奇偶性分析：先化简成单一的三角函数再结合奇偶性的定义判断解：由函数的定义域为，得，既不是奇函数也不是偶函数。【评注】函数奇偶性的判断一定要先考虑定义域是否关于原点对称，否则既是有或成立，函数也是非奇非偶函数。6．图像变换例6.已知函数问该函数图像由图像经过怎样平移、伸缩变换

4、得到？解：故变换如下：将的图像向左平移个单位，得到函数图像，再各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）得到函数，将所得函数图像再向上平移个单位，从而得到的图像【评注】图像变换即可先平移后伸缩，也可先伸缩后平移，但要注意后者变换一定要提取自变量的系数，再来看怎么平移，如由变至后应再左平移个单位得，而不是向左平移个单位。7．图像对称例7.如果函数图像关于直线对称，求的值。解：函数化为，（其中），故此函数图像的对称轴方程为：，因为为其中一条对称轴。所以，解得，【评注】由正弦、余弦函数图像既是中心对称图形，又是轴对称图形，利用图像，得注意两者的区别。8．求参数范围问题例8．

5、若，求实数的范围分析：由三角辅助公式及三角函数的有界性来确定参数的范围解：，即，，得【评注】本题用三角辅助公式化得后，也可用数形结合的方法来确定参数的范围。无论用哪种方法，我们都要注意自变量的取值范围。综上可见，对三角辅助公式在诸多问题中都有重要的应用，它主要作用是对式子的等价转换，化简成我们熟知的函数再解题。