现代控制理论基础第二章.docx

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1、现代控制理论基础ElementsofModernControlTheory主讲：董霞西安交通大学机械工程学院第二章控制系统的状态空间描述2.1基本概念2.2系统的状态空间描述2.3由微分方程求状态空间表达式2.4由传递函数求状态空间表达式2.5非线性状态方程的线性化2.6系统的传递函数矩阵2.7状态方程的线性变换2.8机电液系统状态空间表达式的建立2.9基于Matlab的系统模型转换12.1基本概念在对控制系统进行动态分析和研究时,首先需要建立系统的数学描述，即数学模型。在经典控制理论中，只表明系统输入-输出关系的数学描

2、述通常是微分方程（或差分方程）、传递函数（代数方程）或方框图。在现代控制理论中，对于系统的数学描述除了表达系统的输入-输出关系外，还要加上反映系统内部状态变化的参量-状态变量，这种描述方法称状态空间描述。其数学模型为状态空间方程。2基本概念1.状态：指系统的运动状态（可以是物理的或非物理的）。状态可以理解为系统记忆，t=t0时刻的初始状态能记忆系统在t

3、系统的行为，即一旦已知t≥t0时的输入并且给定t=t0时的初始状态，则系统在t≥t0时刻的状态就完全可以确定，那么这样的n个变量就是系统的一组状态变量。应该注意的是，状态变量的选择具有自由性，它并不一定要在物理上可测量或可观测，但从实用上考虑，应尽可能取容易测量的量作为状态变量，这样会带来很多方便。3基本概念3.状态向量：如果完全描述一个系统的动态行为需要n个状态变量，那么可将这n个状态变量x1(t),x2(t),L,xn(t)看作向量x(t)的各个分量，x(t)就叫状态向量。一旦给定t＝t0时的状态和t≥t0时的输入u

4、(t)，则状态向量就唯一地确定了在任何t≥t0时系统的状态x(t)。状态向量表示为：x(t)1x(t)=x2(t)Mxn(t)4基本概念4.状态空间：是一个由x1轴、x2轴，…，xn轴所组成的n维空间。任意时刻的状态都可用状态空间中的一个点（状态点）来表示，状态空间原点至该点的向量即是该时刻的状态向量。状态变量x1(t),x2(t),L,xn(t)就是状态向量分别在x1x2轴、轴，…，xn轴上的投影。x3S(x1(t1),x2(t1),x3(t1))x3(t1)••t0ox2(t1)x1(t1)x2x1三维状态空间的表达

5、5基本概念5.状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组，称为状态方程。反映系统中状态变量和输入变量间的因果关系，也反映每个状态变量对时间的变化关系。6.输出方程：在指定输出的情况下，该输出与状态变量和输入之间的函数关系。反映系统中输出变量与状态变量和输入变量的因果关系。7.状态空间描述（状态空间表达式）：包括状态方程和输出方程。涉及三种变量：输入变量、输出变量和状态变量。62.2系统的状态空间描述经典控制理论的研究对象为最简单的线性定常单输入-单输出（SISO）系统，通过对微分方程进行拉普拉斯变换求传递函数，再由传

6、递函数进行时域和频域分析，本质上是一种复频域方法。而现代控制理论研究对象则广泛得多，可以是线性定常SISO系统，也可以是多输入-多输出（MIMO）系统，线性或非线性系统，定常或时变系统，其本质是一种时域方法。71.系统的状态空间描述例2-1：线性定常SISO系统的微分方程为：&&&y+6&&y+41y&+7y=6u。在零初始条件下，对其进行拉氏变换得：G(s)=Y(s)=6s3+6s2+41s+7U(s)在经典控制理论中，其稳定性分析是通过分析闭环特征方程的根在复平面上的位置来进行的，其动态响应分析是通过对其某一输入下的

7、Y(s)进行拉氏反变换求得。在现代控制理论中，我们用状态变量来描述其内部的状态，并且确定其状态变量与系统的输入和输出的关系。8系统的状态空间描述x1假设状态变量x2x3可以推出=y=x&1=y&=x&2=&&x1x&3=&&&y=6u−6&&y−41y&−7y=6u−6x3−41x2−7x1用一阶微分方程组表示为x&1=x2x&2=x3x&3=6u−6x3−41x2−7x19系统的状态空间描述用矩阵和向量的形式表示为x&1010x10x&2=001x2+0u−7−41x&3−6x36其输出与状态变量的关系也可用向量和矩

8、阵表示为x1[]y=100x210系统的状态空间描述一般地，对于线性定常连续系统，已知其数学模型为x&1=a11x1+a12x2+L+a1nxn+b11u1+L+b1rurx&2=a21x1+a22x2+L+a2nxn+b21u1+L+b2rurMx&n=an1x1+an2x2+L+annxn+bn1u1+L+bnr