现代控制理论基础

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1、现代控制理论基础数学基础矢量空间的定义矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。例如：x属于二维矢量空间间。Wx2属于n维矢量空当x属于某一矢量集V时，称x是V的元素，即xevo线性空间的定义：如果V是非空的集合，P为数域，设V具有如下性质：1:V中的元素定义有加法，使任何x,yEV有z=x+yEV,并且加法运算具有下列性质：1)x+y=y+x2)x+y+z二(x+y)+z2:V中有这样的元素，称为零向量，记作0,它具有如下性质：1)对任何xEV,有x+0=0+x二x2)对任何xEV,存在

2、-xGV，使x+(-X)二0,则-x为x的逆元素。3：在V中定义了数乘，使任何aGP，xGV,有ctxEV，且1)a,3ep,xEV有(a)3)x=a(3x)2)(a+)3)x二ax+)3x3)a(x+y)二ax+ay4)1•x二x在上述条件下，称V为数域P上的线性空间，若P为复数域C（或实数域R）则V为C（或R）上的线性空间。线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢量空间。二：空间的维数1:空间矢量的线性相关性和线性无关性设V是线性空间，Xl,x2,".Xmev,如果能找到一个数组（k!,k2,".k

3、J（0,0，•••（）），使kiXi+k2x2+".+kmxm=0成立，则称X!,x2,〜xm线性相关。反之，如果仅当（k!,k2,…km）二（0,0,…0）,才有kiXi+k2x2+…+kmxm二0成立，则称xbx2,…X，线性无关。例1:求失量x=（1，1），y二（2,2）的线性相关性。[kx+2k2=0[k,+2k2=0解：令k，x+k2y=0，得：即：12」L々2」有非零解，故x，y线性相关。例2:求矢量x=（1，0），y=（0，1）的线性相关性。r,I=0解：令k!x+k2y=0，得：s'故x,y

4、线性无关。12=例3:求矢量x二（1,4,1）,y=（1,2,3）,z-（1,3,6）的线性相关性。其系数行列式:解：令kix+k2y+k3z二0，得：_i1r423k2136_k3_0111A=423矣0236故x，y,z线性无关。定理一：设有n个矢量：3i—(an,什2，***310)^2—(^21,^22,•••a2n)參•蠡-(ani，an2，***2nn)如果行列式：^11^12…aanan2***ann则a!，a2…an&线性无关。定理二：当m彡2时，矢量aBa2…am线性相关的充要条件是

5、其中至少有一个矢量可表示成其它m_1个矢量的线性组合。定义：在线性空间V中，若存在n个元素a，，a2…an满足：1):ai,a2…an线性无关；2):V中的任一元素a总可由久，ar”an线性表示，则称a，，ar”an为线性空间V的一个基，n称为V的維数，记为dimV=n。维数为n的线性空间称为n維向量空间Vn，实n維列向量空间记为Rn，复n維列向量空间记为Cn。2:矩阵的秩与矢量相关性的关系(1)秩的定义：矩阵中所含不等于零的子行列式的最高阶数，称为矩阵的秩。矩阵A的秩记为rankA。若A为n阶方阵：ran

6、kA〈n,称A为降秩矩阵(奇异矩阵)rankA=n,称A为满秩矩阵(非奇异矩阵)，此时detA=A0o(1)矩阵的秩与矢量相关性的关系定理三：若rankA=r,则A中有r个行（列）矢量线性无关，而其余的行（列）矢量是这r个行（列）矢量的线性组合。定理四：n阶行列式的行（列）矢量线性无关的充要条件是其行列式不等于零。定理五：设AERnXm,BERmXs，贝'Jrank（AB）^min（rankA,rankB）。（3）线性方程式的解与秩的关系设线性方程组：anXi+ai2x2+•••ainxn=b1a2iXi+

7、a22X2+•••a2nXn=b2^mnxn=bmamiXi+am2x2+可写成矩阵形式AX二b其中：al{ai2••-alnba2a22…a2n•••X=义2•審•b=b2參參•a,ao…ciLm2湖-_bm_增广矩阵：=b]定理六：线性方程组有解的充要条件是:rankA=rankA定理七：线性方程组有唯一解的充要条件是：rankA=rankA-r—yi有无穷多个解的充要条件是：rankA=rankA=r

8、列式为零。三：逆矩阵和矩阵的微分和积分1:逆矩阵对于非奇异矩阵A,存在着一个逆矩阵A'使AA_1二A"1A=lo逆矩阵具有如下性质：(A—1)K:(AK)一1、(A_1)T:(AT)-1、(A_1)*:(A*)_1其中AT、A*分别为A的转置矩阵和共扼转置矩阵。若A、B均为非奇异矩阵，有(ABK1:B—1A例：设"120A=3-1一210-3〜为元素的人余因子=(-l)/+yA..求A解：

9、A

10、=1736ad