现代控制理论基础.doc

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1、现代控制理论基础数学基础一：矢量空间的定义矢量空间是线性空间，矢量空间中的运算，属于线性运算法则范畴。例如:间。兀属于二维矢量空间,y兀2:属于n维矢量空当x属于某一矢量集V时，称x是V的元素，即x€V。线性空间的定义：如果V是非空的集合，P为数域，设V具有如下性质：1：V中的元素定义有加法，使任何x，y€V有z=x+y€V,并且加法运算具有下列性质：1)x+y=y+x2)x+y+z=(x+y)+z2：V中有这样的元素，称为零向量，记作0,它具有如下性质：1)对任何x€V,有x+0=0+x=x2)对任何x€V,存在-x€V，使x+(-x)=0,则-x为x的逆

2、元素。3:在V中定义了数乘，使任何aCP,x€V,有axCV,且1)a,p€P,x€V有(ap)x=cx(px)2)(a+

3、3)x=ax+px3)a(x+y)=ax+ccy2)1•x=x在上述条件下，称V为数域P上的线性空间，若P为复数域C（或实数域R）则V为C（或R）上的线性空间。线性空间中的元素称为矢量，因此线性空间也叫矢量空间。二：空间的维数1:空间矢量的线性相关性和线性无关性设V是线性空间，X】，x?,…X』€V,如果能找到一个数组（ki,k2,…kJ工（0,0,…0）,使k!Xi+k2x2+...+kmxm=0成立,则称X],心…x®线性相关。反之

4、，如果仅当（kbk2,...kJ=（0,0,…0）,才有kiXi+k2x2+...+kmxm=0成立,则称xbx2,...xm线性无关。例1：求矢量x=（1,1）,y=（2,2）的线性相关性。解：令k]X+k2y=0,得：严】+2心=0仏+2心=0即：12k、1=0L'2」国」有非零解，故x,y线性相关。例2：求矢量x=(1,0),y=(0,1)的线性相关性°-0解：令k]X+k2y=0,得：J1_故x,y线性无关。2-例3:求矢量x=(1,4,1),y=(1,2,3),z=(l,3,6)的线性相关性。42133k26出解：令k】x+k疔+k3z=0,得：=

5、0其系数行列式:111△=423"236故x,y,z线性无关。定理一：设有n个矢量:&1=(3.11?3-125•••&]*)&2=(3-21?&22，…3-2n)an=(a如果行列式:a2i6^22a2nHO定理二：当m>2时,矢量a】,a2...ain线性相关的充要条件是其中至少有一个矢量可表示成其它m-1个矢量的线性组合。定义：在线性空间V中，若存在n个元素a】，a2...an满足：1）:ana2...an线性无关；2）:V中的任一元素a总可由aHa2.-an线性表示，则称a】，a2..-an为线性空间V的一个基，n称为V的维数,记为dimV=no维数

6、为n的线性空间称为n维向量空间Vn,实n维列向量空间记为Rn,复n维列向量空间记为Cn。2：矩阵的秩与矢量相关性的关系（1）秩的定义：矩阵中所含不等于零的子行列式的最高阶数，称为矩阵的秩。矩阵A的秩记为rankAo若A为n阶方阵：rankA

7、n：B€Rn",贝寸rank(AB)

8、ankA=rankA=r

9、A

10、=17_36-4j6-411717177-32adjA=7

11、-■32,她T=17171712-7_12-7171