现代控制理论基础总复习

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1、第二章线性系统的数学描述数学模型可以有许多不同的形式，较常见的有三种：第一种是：把系统的输入量和输出量之间的关系用数学方式表达出来，称之为输入输出描述，或外部描述；第二种是：不仅可以描述系统输入、输出之间的关系，而且还可以描述系统的内部特性，称之为状态空间描述或内部描述；第三种是：用比较直观的方块图（结构图）和信号流图模型进行描述。2.1线性系统的时域数学模型对于

2、单输入、单输出

3、线性定常系统,采用下列微分方程来描述：cM(/)+(f)+a2c{n~2)(?)+L+a—敢)+anc(t)=b严(/)+⑴+b2*T(Z)

4、+L+乩燈)+by⑴(2.1)式中，厂⑴和C(/)分别是系统的输入信号和输出信号，占)⑴为c(f)对时间/的〃阶导数；at(z=1,2,L乃)和b.(j=O,1,L加)是由系统的结构参数决定的系数。2.2传递函数c(5)=y-+y"R(s)a^sn+a{sn~}+L+W-s十*+L+an_xs+anM(s)w(2.2)式中M(s)=b^sm+bp"1+L4-bm_{s+b/nN(s)=q)s"+Q]S"“+L+an_xs+anMG)和N(s)分别称为传递函数G(s)的分子多项式和分母多项式。2.5线性系统的状态空间描述

5、Ax+Buy=Cx+du2.5.2状态空间表达式与传递函数的关系(2.3)(2.4)G(s)=C(s/—+D2.5.3状态空间表达式的建立情形一：线性微分方程中不含输入的导数项，传递函数没有零点#”)+qJ/”"+L+%闵any=u(2.5)情形二线性微分方程含有输入的导数(不超过3阶)，传递函数有零点+L+any—b^n}+b}u(n~[)+L+bnu(2.6)U®_+L+bn_xs+bnsn++L+an_xs+anChp.9状态空间系统响应.可控性与可观性9.1线性定常系统的响应已知线性定常连续系统状态方程的一般形

6、式为(2.8)败/)=/•¥(()+加(Z),X(0)=X()状态变量的初始值为刃)，控制作用为心。状态方程是一阶微分方程组其解为x(t)=eafx(O)其中，指数函数出可以展成如下无穷级数形式ea,=+at+—a2t2+L+—aktk+L=$丄//2!k幺£!一阶向量微分方程的齐次方程爲Ax的解也具有如下形式x(r)=e^x(O)其中,1181心+如+討"+严(2.9)式(2.9)无穷矩阵级数的收敛式/叫做矩阵指数，/为单位矩阵。非齐次状态方程(2・8)的求解。(2.10)x(Z)=eArx(O)+^eA{rnB

7、u(T)dT从式(2.10)可以看出，系统的动态响应由两部分组成：一部分由状态初始值工(0)引起，叫做零输入响应；另一部分由输入信号m⑴引起，叫做零状态响应。9.2状态转移矩阵（的计算）一般情况下，线性系统（包括定常和时变）的状态响应方程可以写为(2.11)x(Z)=0(/)x(O)+[0(/-T)Bu{r)dr式（2.11収称状态转移方程，并称0⑴为状态转移矩阵，它表征系统从/=0的初始状态班0）转移到/>0的任意状态工⑴的转移特性。显然，状态的转移性能完全取决于系统的/阵。对于线性定常系统有①⑴“9.2.2矩阵指数

8、和状态转移矩阵的计算—、拉氏变换法（p（t）=eAl=L：［［（sI-Ayl］（2.12）这种方法实际上是用拉氏变换在频域中求解状态方程。矩阵（刀-力尸称为预解矩阵。二、化矩阵A为对角线矩阵和约当矩阵法如果状态方程的系数矩阵/为对角线矩阵，即a22L0可以证明，相应于矩阵/的矩阵指数护为0L0At_0严L0MM0M00Ly9.4可控性和可观性•&=A(t)x+Bu⑴定理9J(可控性的代数判据)设/7阶线性定常连续系统的状态方程为Ax+Bu(2.13)式中，X>U分别为刃维、P维向量，/、3分别为“X刃维和nxp维实数矩

9、阵。则系统完全可控的充要条件是

10、,系统的I可控性姮阵Qk=_BABA2BL的秩为n。即rankQ^=rankBAB才BLAf71B=n(2.14)此时称S")为可控矩阵对。定理9・3（特征值规范型判据）设线性定常连续系统於做+Bu具有互异的特征值人，兀L，血,则系统状态完全可控的充要条件是系统经非奇异变换后的对角规范形式A躺o0中序不包含元素全为0的行。定理9-4（特征值规范型判据）设线性定常连续系统毎Ax+Bn具有重特征值k入（加1重），心"重），人（"重），工化=/7,&工工j）,则系统状态完全可控/=1的充要条

11、件是，经非奇异变换后的约当规范形式A[0_0礼中承与每一个约当块4（/=l,2,LQ的最后一行相应的那些行的所有元素不完全为Oo9.4.2线性定常系统的可观性定理9-5（可观性代数判据）设线性定常连续系统的状态空间表达式为爲/兀+Buy=Cx构造系统的可观性矩阵CAMCAn~则线性定常连续状态完全可观的充分必要条件是其可观性矩阵满