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1、第18卷第2期数学研究与评论Vol.18No.21998年5月JOURNALOFMATHEMATICALRESEARCHANDEXPOSITIONMay1998X“向量极值问题的最优性条件”一文的注记陈修素(重庆商学院数学教研室,重庆400067)摘要本文给出了文[1]中的几个主要结果(即[1]中的推论2,定理4,定理6及定理7)的反例,进而更正了有关结果.关键词向量极值,广义凸性,(弱)有效解,最优性条件.分类号AMS(1991)90C29öCCLO221.2设Y,Z是实线性拓扑空间,Y中含原点O的凸锥称为Y的正锥,记为Y+,具有正锥的线33333性
2、空间称为序线性空间,Y表Y的拓扑对偶,称集合Y+={y∈Y:y(y)≥0,Py∈Y+}为33Y+的对偶锥,其中y(y)表y在点y的取值.Y+,Z+分别是Y,Z中的内部非空的正锥,D是实线性空间X的任一非空集合,f:D→Z,g:D→Y,考虑如下向量极值问题:(P)minf(x),s.t.x∈K,其中K={x∈D:-g(x)∈Y+},称为(P)的可行集.xq∈K称为(P)的有效解(弱有效解):指无x∈K,使f(xq)-f(x)∈Z+û{0}(intZ+).[1]定义1设F:D→Y,intY+≠Á.(1)F称为在D上关于Y+广义次似凸的,如果存在u∈intY
3、+,Px,y∈D,PK∈(0,1),PE>0,vz∈D,vQ>0,使Eu+KF(x)+(1-K)F(y)-QF(z)∈Y+;(2)F称为在D上关于Y+次似凸的,如果上述(1)中Q=1;(3)F称为在D上关于Y+广义严格似凸的,如果Px,y∈D,x≠y,PK∈(0,1),vz∈D,vQ>0,使KF(x)+(1-K)F(y)-QF(z)∈intY+.在[1]中得到如下结论(定理1—3,即[1]中的推论2,定理4和定理6):333定理1设f是K上广义次似凸映射,xq是(P)的有效解,则存在z∈Z+,z≠0,使xq是3minz(f(x))的最优解.x∈K3定理
4、2设f是K上广义严格似凸映射,则xq是(P)的有效解的充要条件是存在z∈333Z+,z≠0,使xq是minz(f(x))的唯一最优解.x∈K33定理3设xq是(P)的弱有效解,(f,g)是关于Z+×Y+广义次似凸的,则存在z∈Z+∈333333333q))=Z+,y0∈Y+,(z0,y0)≠(0,0),使得min{z0(f(x))+y0(g(x))}=z0(f(x),且y0(g(xx∈DX1995年4月8日收到.1997年9月25日收到修改稿.—301—0.下述的例1说明了上述定理1及定理2的必要条件部分不正确.222例1设K={(x1,x2)∈R:x
5、1≥0,x2≥0,x1+x2≥1},f(x1,x2)=(x1,x2),P(x1,x2)∈2q=(1,K.易证f(x)在K上关于Z+=R+是广义严格似凸的,从而也是广义次似凸的,且x21)∈K是(P)的弱有效解(也为有效解),但不存在z3∈R2q是min3(f(x))的最+û{0),使xz2x∈K优解.3332事实上如有z=(z1,z2)∈R+û{0},使3xq是minz(f(x))的最优解.(1)x∈K33则z(f(xq))≤z(f(x)),Px∈K,当取x为K中的点(1,0)及(0,1)则有1333(z1+z2)≤z1,(2)2及1333(z1+z2
6、)≤z2.(3)2333333333由(2)+(3)得2(z1+z2)≤z1+z2](2-1)(z1+z2)≤0]z1=z2=0与假设z≠0矛盾,故(1)不真.下面的例2说明上述定理3不正确.2例2设D为上例中的K,f(x)与上例相同,g(x)=(-x1,-x2)是D→Y=R的映射,2q=(1,1)是问题(P)的弱有效解(也为有效解),且(f,g)在Y+=R+,显然此时K=D,x2222D上关于R+×R+(即Z+×Y+)广义次似凸的,即此时对(P)来说定理3的条件满足,但其结3322论不真.如不然有(z0,y0)∈(R+×R+)û{0},使min{z3
7、33q)),(4)0(f(x))+y0(g(x))}=z0(fxx∈Dy3q))=0.0(g(x取D中的两点(1,0)及(0,1)由(4)得33331z1-y1≥(z1+z2),(5)233331z2-y2≥(z1+z2),(6)2333333其中(z1,z2)=z0,(y1,y2)=y0.由(5)+(6)得333333z1+z2-y1-y2≥2(z1+z2),(7)3333333333从而(2-1)(z1+z2)+(y1+y2)≤0](z0,y0)=(z1,z2,y1,y2)=0,与假设相违.4下面来证G=(f,g)在D上关于R+(即Z+×Y+)广义
8、次似凸的,取u=(1,1,1,1)∈4intR+,Px,y∈D,PE>0和K∈(0,1),x=
