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1、1第三节曲面及其方程曲面方程的概念小结思考题作业(surface)旋转曲面柱面二次曲面(surfaceofrevolution)(cylindricalsurface)(quadraticsurface)第七章空间解析几何与向量代数2水桶的表面、曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹.曲面方程的定义曲面的实例(1)曲面S上任一点的坐标都满足方程;(2)不在曲面S上的点的坐标都不满足方程;如果曲面S有下述关系:那么,就叫做曲面S的方程,而曲面S就叫做方程的图形.曲面及其方程一、曲面方程的概念台灯的罩子面等.与三元方程3曲面的参数方程为凡三元方程都表
2、示空间一曲面?是一个三元方程,注但不表示任何曲面.错,如曲面及其方程4以下给出几例常见的曲面.解所求方程为球心在原点的球面方程例特殊是球面上任一点,曲面及其方程5解所求方程是曲面上任一点,例的全体所组成的曲面方程.曲面及其方程6研究空间曲面有(1)已知曲面,(2)已知方程,两个基本问题(讨论旋转曲面)(讨论柱面,二次曲面)求方程;研究图形.曲面及其方程7二、旋转曲面定义绕其平面上的一条直线这条定直线叫旋转曲面的轴.此曲线称称为旋转曲面.旋转一周所成的曲面,母线.为方便,平面取作坐标面,旋转轴取作坐标轴.曲面及其方程(surfaceofrevolut
3、ion)常把曲线所在以一条平面曲线母线轴8旋转过程中的特征：如图将得方程代入曲面及其方程9旋转曲面方程.旋转一周的即为同理,旋转曲面方程为旋转一周的绕z轴绕y轴曲面及其方程10曲线方程中与旋转轴相同的变量不动,总之,位于坐标面上的曲线C,绕其上的一个坐标轴转动,所成的旋转曲面方程可以这样得到:而用另两个的变量的平方和的平方根(加正、负号)替代曲线方程中另一个变量即可.曲面及其方程11解圆锥面方程所得旋转曲面称为圆锥面.两直线的交点称为圆锥面的顶点,例两直线的夹角圆锥面的半顶角.称为试建立顶点在坐标原点O,旋半顶角为的圆锥面的方程.转轴为z轴,面上直
4、线方程为曲面及其方程直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周12圆锥面方程即圆锥面方程(用得较多)?绕y轴旋转所得曲面方程及图形.即曲面及其方程面上直线方程为13将下列各曲线绕对应的轴旋转一周,求生成的旋转曲面的方程.旋转双曲面例双曲线(1)分别绕x轴和z轴;绕x轴旋转绕z轴旋转曲面及其方程14旋转椭球面旋转抛物面(2)绕y轴和z轴;(3)绕z轴.曲面及其方程15选择题B方程(A)xOz平面上曲线绕y轴旋转所得曲面;(B)xOz平面上直线绕z轴旋转所得曲面；(C)yOz平面上直线绕y轴旋转所得曲面；(D)yOz平面上曲线绕x轴旋转所得曲面.表示().曲
5、面及其方程16定义三、柱面平行于定直线并沿定曲线C这条定曲线C称为柱面的动直线L称为柱面的准线,母线.曲面及其方程(cylindricalsurface)所形成的曲面称为移动的直线L柱面.准线母线17因此,该方程的图形是以xOy面上圆为准线,例讨论方程的图形.在xOy面上,解现在空间直角坐标系中讨论问题.母线平行于z轴的柱面.曲面及其方程表一个圆C.过点作平行z轴的直线L,设点在圆C上,对任意z,点的坐标也满足方程沿曲线C,平行于z轴的一切直线所形成的曲面上的点的坐标都满足此方程,在空间,就是圆柱面方程.此曲面称为圆柱面.L18平面表示母线平行于z
6、表示母线平行于z轴曲面及其方程抛物柱面柱面举例其准线是xOy面上的抛物线轴的柱面,的柱面,其准线是xOy面上的直线19从柱面方程看柱面的特征：（其他类推）实例椭圆柱面双曲柱面抛物柱面直角坐标系中表示平行于z轴的柱面,在空间为xOy面上的曲线C.其准线曲面及其方程母线平行于x轴母线平行于z轴母线平行于y轴20四、二次曲面1.二次曲面的定义即为二次曲面.相应地平面被称为三元二次方程所表示的曲面称为其中均为常数.球面、二次曲面.如:双曲柱面等)某些柱面(圆柱面、抛物柱面、一次曲面.都是二次曲面.曲面及其方程21现只研究几种常见的二次曲面的标准方程.或称为
7、二次曲面的标准方程.曲面及其方程22研究的方法是采用截痕法.以下用截痕法讨论上面几种特殊的二次曲面.从而了解曲面即用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截,考察其交线(即截痕)的形状,然后加以综合,的全貌.曲面及其方程232.椭球面(椭圆面)(ellipsoid)曲面及其方程由方程可知即这说明椭球面包含在由平面围成的长方体内.24曲面及其方程先考虑椭球面与三个坐标面的截痕：去截这个曲面,所得截痕的方程是这些截痕都是椭圆.再用平行于xOy面的平面这些截痕也都是椭圆.25椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.曲面及其方程与平面椭圆.同理,的截痕也是26椭
8、球面的几种特殊情况:旋转椭球面由椭圆旋转椭球面与椭球面的区别：方程可写为与平面(ellipsoidalsurfaceofr
