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《冲刺2021届高考数学二轮提升专题20 数学归纳法及其证明（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、专题20数学归纳法及其证明1、（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．【解析】（Ⅰ）用数学归纳法证明：当时，假设时，，那么时，若，则，矛盾，故．因此所以因此（Ⅱ）由得记函数函数在上单调递增，所以=0，因此故（Ⅲ）因为所以得由得所以故综上，．2、（2016年江苏卷）.(1)求7C－4C的值；(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.规范解答(1)7C－4C＝7×－4×＝0.(2)解法1当n＝m时，结论显然成立．当n>m时，(
2、k＋1)C＝＝(m＋1)·＝(m＋1)C，k＝m＋1，m＋2，…，n.又因为C＋C＝C，所以(k＋1)C＝(m＋1)(C－C)，k＝m＋1，m＋2，…，n.因此，(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)·C＝(m＋1)C＋[(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋(n＋1)·C]＝(m＋1)C＋(m＋1)[(C－C)＋(C－C)＋…＋(C－C)]＝(m＋1)C.解法2对任意的m∈N*，①当n＝m时，左边＝(m＋1)C＝m＋1，右边＝(m＋1)C＝m＋1，等式成立，②假设n＝k(k≥m)时命题成立，即(m＋1)C＋(
3、m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＝(m＋1)C，当n＝k＋1时，左边＝(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＋(k＋2)C＝(m＋1)·C＋(k＋2)C，右边＝(m＋1)C，而(m＋1)C－(m＋1)C＝(m＋1)×－＝(m＋1)×[k＋3－(k－m＋1)]＝(k＋2)×＝(k＋2)C，因此(m＋1)C＋(k＋2)C＝(m＋1)C，因此，左边＝右边，因此n＝k＋1时命题也成立，综合①②可得命题对任意n≥m均成立．3、（2015年江苏卷）已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3
4、，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)
5、a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．规范解答(1)因为S6＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,1)，(3,3)，(3,6)}，故f(6)＝13.(2)当n≥6时，f(n)＝(t∈N*)．下面用数学归纳法证明：①当n＝6时，f(6)＝6＋2＋＋＝13，结论成立；②
6、假设n＝k(k≥6)时结论成立，那么n＝k＋1时，Sk＋1在Sk的基础上新增加的元素在(1，k＋1)，(2，k＋1)，(3，k＋1)中产生，分以下情形讨论：1)若k＋1＝6t，则k＝6(t－1)＋5，此时有f(k＋1)＝f(k)＋3＝k＋2＋＋＋3＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；2)若k＋1＝6t＋1，则k＝6t，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；3)若k＋1＝6t＋2，则k＝6t＋1，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；4)若k＋1
7、＝6t＋3，则k＝6t＋2，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；5)若k＋1＝6t＋4，则k＝6t＋3，此时有f(k＋1)＝f(k)＋2＝k＋2＋＋＋2＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立；6)若k＋1＝6t＋5，则k＝6t＋4，此时有f(k＋1)＝f(k)＋1＝k＋2＋＋＋1＝(k＋1)＋2＋＋，结论成立．综上所述，结论对满足n≥6的自然数n均成立．4、（2014年江苏卷）已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证
8、明：对任意的n∈N*，等式＝都成立．规范解答(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝′＝－，于是f2(x)＝f′1(x)＝′－′＝－－＋，所以f1＝－，f2＝－＋.故2f1＋f2＝－1.(2)由已知，得xf0(x)＝sinx，等式两边分别对x求导，得f0(x)＋xf′0(x)＝cosx，即f0(x)＋xf1(x)＝cosx＝sinx＋，类似可得2f1(x)＋xf2(x)＝－sinx＝sin(x＋π)，3f2(x)＋xf3(x)＝－cosx＝sinx＋，4f3(x)＋xf4(x)＝sinx＝sin(x＋2π)．下面用数学归
9、纳法证明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sinx＋对所有的n∈N*都成立．(ⅰ)当n＝1时，由上可知等式成立．(ⅱ)假设当n＝k时等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sinx＋.因为[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kf′k－1(x)＋fk(x)＋xf′k(x)＝(k＋1)fk(x)＋x
