冲刺2021届高考数学二轮提升专题20 数学归纳法及其证明（原卷版）.docx

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1、专题20数学归纳法及其证明1、（2017浙江）已知数列满足：，．证明：当时（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）．2、（2016年江苏卷）.(1)求7C－4C的值；(2)设m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.3、（2015年江苏卷）已知集合X＝{1,2,3}，Yn＝{1,2,3，…，n}(n∈N*)，设Sn＝{(a，b)

2、a整除b或b整除a，a∈X，b∈Yn}，令f(n)表示集合Sn所含元素的个数．(1)写出f(6)的值；(2)当n≥6时，

3、写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明．4、（2014年江苏卷）已知函数f0(x)＝(x>0)，设fn(x)为fn－1(x)的导数，n∈N*.(1)求2f1＋f2的值；(2)证明：对任意的n∈N*，等式＝都成立．一．数学归纳法：一般证明一个与正整数n有关的命题，按下列步骤进行①归纳奠基：证明当n取第一个值n0时命题成立②归纳递推：假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时的命题也成立。只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法．二、关键点(1)

4、验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．(3)利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导

5、出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．题型一运用数学归纳法证明等式运用数学归纳法证明等式要注意三个步棸：1、验证对于成立的第一个数，2、假设基础，3、通过假设基础验证n=n+1也成立。例1、(2019南京、盐城一模）已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，且对任意n∈N*，都有a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝(an＋2－1)·2n－1成立．(1)求a3的值；(2)证明

6、：数列{an}是等差数列．例2、(2019泰州期末）已知函数f(x)＝1－

7、2x－1

8、，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的个数分别为gn(0)，gn(1)．(1)求g2(1)的值；(2)证明：gn(0)＝gn(1)＋1.例3、(2018南通、泰州一调）(1)用数学归纳法证明：当x∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝－(x∈R，且x≠2kπ，k∈Z)；(2)求sin＋2sin＋3sin＋4s

9、in＋…＋2018sin的值．题型二运用数学归纳法证明不等式运用数学归纳法证明不等式处理运用假设基础，最关键的是要用到放缩法进行缩小或者放大。有时也要运用综合法、分析法进行证明。例4、(2019苏北三市期末）已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝－2a＋2an，n∈N*.(1)用数学归纳法证明：an∈；(2)令bn＝－an，证明：≥3n＋1－3.例5、(2019苏锡常镇调查）已知f(n)＝＋＋＋…＋，g(n)＝＋＋＋…＋，其中n∈N*，n≥2.(1)求f(2)，f(3)，g(2)，g(3)的值；

10、(2)记h(n)＝f(n)－g(n)，求证：对任意的m∈N*，m≥2，总有h(2m)>.题型三数学归纳法中的“归纳--猜想--证明”问题数学归纳法中的“归纳--猜想--证明”问题我们称为不完全归纳法，首先要通过n=1,2,3求出参数，或者归纳出解析式，然后再运用数学归纳法给与证明。例6、(2019常州期末）是否存在实数a，b，c，使得等式1×3×5＋2×4×6＋…＋n(n＋2)(n＋4)＝(an2＋bn＋c)对于一切正整数n都成立？若存在，求出a，b，c的值；若不存在，说明理由．序，当第一个子串

11、“010”的最后一个0所在数位是第k(k∈N*，且k≥3)位，则称子串“010”在第k位出现；再继续从第k＋1位按从左往右的顺序找子串“010”，若第二个子串“010”的最后一个0所在数位是第k＋m位(其中m≥3且m∈N*)，则称子串“010”在第k＋m位出现；……；如此不断地重复下去．如：在字符串11010101010中，子串“010”在第5位和第9位出现，而不是在第7位和第11位出现．记在n位由0，1组成的所有字符串中，子串“010”在第n位出现的字符串的个数为f(n)．(1)求f(3)，f