有心圆锥曲线第三定义和其在高考中应用

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1、有心圆锥曲线第三定义和其在高考中应用　　摘要：本文给出了有心圆锥曲线的第三定义，并通过对第三定义的进一步研究得出一个与有心圆锥曲线中心弦有关的重要性质，利用第三定义及性质简单、巧妙地解决了近年数学高考中较为复杂的解析几何问题。关键词：有心圆锥曲线；第三定义；性质；应用中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1674-9324（2013）41-0096-03通过对人教A版数学选修1-1及2-1的学习，我们已经熟知椭圆和双曲线的第一定义和第二定义：在此基础上我们来探究有心圆锥曲线的第三定义。1第三定义的引出人教A版数学选修1-1第36页练习题4（改编

2、）的问题如下：点A，B的坐标分别是（-2，0），（2，0）直线AM，BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的积（或商）是-■（或■），求点M的轨迹方程。设M（x，y）？圯kAM=■，kBM=■解：由kAM×kBM=-■？圯■=-■？圯■+■=1（其中x≠2）设M（x，y）？圯kAM=■，kBM=■8解：由kAM×kBM=■？圯■=■？圯■-■=1（其中x≠±2）通过检验A，B两点也满足上述方程。上述结果是形如■+■=1（或■-■=1）的圆锥曲线方程，通过比较我们还发现如下结论：kAM×kBM=-■（或kAM×kBM=■）下面我们来研究一般形式下是否有

3、相同的结果。2第三定义的探究与总结2.1椭圆的第三定义设A（-a，0），B（a，b），点M（x，y）为平面上一动点，且满足kAM×kBM=-■（其中a>b>0），则点M的轨迹方程如下：kAM=■，kBM=■由？圯kAM×kBM=-■？圯■=-■？圯■+■=1（其中x≠±a）通过检验A（-a，0），B（a，0）两点也满足上述方程.反之，M（x，y）为椭圆■+■=1上任意不同于A（-a，0），B（a，0）的一点，有kAM=■，kBM=■？圯kAM×kBM=■又∵■+■=1？圯y2=■（a2-x2）？圯kAM×kBM=-■这时也成立。进一步，通过探究发现当焦点

4、在y轴上时，即A（0，-a），B（0，a）），结论同样成立。8由此，我们归纳出结论：平面上任意一动点到两定点的斜率之积为负常数（除-1外）的点的轨迹是椭圆（除两定点）。在这里我们把它称之为椭圆的第三定义。其中两定点是椭圆长轴上的两个端点，并且也满足椭圆方程。上述定义用数学语言表示如下：（1）已知A（-a，0），B（a，0），若kAM×kBM=-■（a>b>0），则点M的轨迹方程为■+■=1.（2）已知A（0，-a），B（0，a），若kAM×kBM=-■（a>b>0），则点M的轨迹方程为■+■=1.特别地，当kAM×kBM=-1（即a=b），则点M的轨迹方

5、程为x2+y2=a2，是一个中心在原点，半径为a的圆。2.2双曲线的第三定义设A（-a，0），B（a，0），点M（x，y）为平面上一动点，且满足kAM×kBM=■（其中a，b>0），则点M的轨迹方程如下：kAM=■，kBM=■由？圯kAM×kBM=■？圯■=■？圯■-■=1（其中x≠±a）通过检验A（-a，0），B（a，0）两点也满足上述方程.反之，M（x，y）为双曲线■-■=1上任意不同于A（-a，0），B（a，0）的一点，有kAM=■，kBM=■？圯kAM×kBM=■8又∵■-■=1？圯y2=■（x2-a2）？圯kAM×kBM=■这时也成立。进一步，

6、通过探究发现当焦点在y轴上时（即A（0，-a），B（0，a）），结论同样成立。由此，我们归纳出结论：平面上任意一动点到两定点的斜率之积为正常数的点的轨迹是双曲线（除两定点）。在这里我们把它称之为双曲线的第三定义。其中两定点是双曲线实轴上的两个端点，并且也满足双曲线方程。上述定义用数学语言表示如下：（1）已知A（-a，0），B（a，0），若kAM×kBM=■（a，b>0），则点M的轨迹方程为■-■=1.（2）已知A（0，-a），B（0，a），若kAM×kBM=■（a，b>0），则点M的轨迹方程为■-■=1.3深入探究与推广根据上述有心圆锥曲线的第三定义，我

7、们有以下结论：（1）若M为■+■=1上任一点，A（-a，0），B（a，0），有kAM×kBM=-■，若M为■+■=1上任一点，A（0，-a），B（0，a），有kAM×kBM=-■.（2）若M为■-■=1上任一点，A（-a，0），B（a，0），有kAM×kBM=■，若M为■-■=1上任一点，A（0，-a），B（0，a），有kAM×kBM=■.其中

8、AB

9、为椭圆（双曲线）的一条中心弦。8探究：若

10、AB

11、为任意一条中心弦，是否能得到相同的结论。3.1椭圆的中心弦性质设椭圆方程为■+■=1，

12、AB

13、为其任意一条中心弦，M（x，y）为椭圆上任意一点。不妨设A（x0

14、，y0），则B（-x0，-y0），有kAM=■，kBM=■？圯kAM×kBM=■