高考数学一轮复习人教版(理)第6章第3讲基本不等式学案.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第3讲基本不等式[考纲解读]1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题．(重点)2.掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧．(难点)[考向预测]从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题

2、或解答题均可能出现.1．基本不等式设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为□05a＋2b，几何平均数为□06ab，基本不等式可叙述为□07两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有□01最小值是2p(简记：□02积定和最小)．1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有□03最大值是p4(简记：04□

3、和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．ba(2)a＋b≥2(a，b同号)．a＋b2(a，b∈R)．(3)ab≤2(4)a＋b2a2＋b22≤2(a，b∈R)，2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．(5)a2＋b2a＋b22≥4≥ab(a，b∈R)．(6)a2＋b2≥a＋b≥ab≥121(a>0，b>0)．22a＋b1．概念辨析两个不等式2＋b2≥2ab与a＋b≥ab成立的条件是相同的．(

4、)(1)a21(2)函数y＝x＋x的最小值是2.()4(3)函数f(x)＝sinx＋sinx的最小值为2.()xy(4)x＞0且y＞0是y＋x≥2的充要条件．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身1(1)已知f(x)＝x＋x－2(x<0)，则f(x)有()A．最大值0B．最小值0C．最大值－4D．最小值－42⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯答案C解析因为x<0，所以－x>0，所以－x＋1≥2－x·1＝2，当且仅当－x＝1即x＝－1时等号成－x

5、－x－x11立．所以x＋x≤－2.所以f(x)＝x＋x－2≤－4.即f(x)有最大值－4.(2)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为()A．80B．77C．81D．82答案C解析由基本不等式18＝x＋y≥2xy?9≥xy?xy≤81，当且仅当x＝y时，xy有最大值81，故选C.(3)已知lga＋lgb＝2，则lg(a＋b)的最小值为()A．1＋lg2B．22C．1－lg2D．2答案A解析由lga＋lgb＝2，可知a>0，b>0，则lg(ab)＝2，即ab＝100.所以a＋b≥2ab＝2100＝20，当且

6、仅当a＝b＝10时取等号，所以lg(a＋b)≥lg20＝1＋lg2.故lg(a＋b)的最小值为1＋lg2.(4)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．答案15152解析设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝1·≤12x(2y)2x＋2y2225152＝2，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝2时取等号．题型一利用基本不等式求最值角度1直接应用3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯

7、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1．(2019沈·阳模拟)已知a＞b＞0，求a2＋1的最小值．ba－b解∵a＞b＞0，∴a－b＞0.212124∴a＋≥a＋＝a＋2ba－bb＋a－b2a2≥224＝－，22，b＝2a·2＝，当且仅当a＝2，a＞b＞0，即a＝时a4bab2取等号．21∴a＋ba－b的最小值是4.角度2拼凑法求最值152．求f(x)＝4x－2＋4x－5x<4的最大值．511解因为x＜4，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋4x－5＝－5－4x＋5－4x＋13≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝5－4

8、x，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－21＋4x－5的最大值为1.角度3构造不等式求最值(多维探究)3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为()911A．3B．4C.2D.2答案B解析因为x>0，y>0，且x＋2y＋2xy＝8，所以x＋2y＝8－2xy≥8－x＋2y2.2整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32