高考数学一轮复习人教版(理)第11章第5讲数学归纳法学案.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯第5讲数学归纳法[考解]1.了解数学法的原理，能用数学法明一些的命．(重点)2.数学法的主要作用是明与自然数有关的不等式及数列．(点)[考向]从近三年高考情况来看，本并没有直接涉及，当遇到与正整数n有关的不等式的明，且其他方法不易，可以考用数学法行明求解.数学法的定一般地，明一个与正整数n有关的命，可按下列步行：*2．(推)假n＝k(k≥n0，k∈N*)命成立，明当n＝□01k＋1时命也成立．只要完成两个步，就可以断定命

2、从n0开始的所有正整数n都成立，上述明方法叫做数学法．1．概念辨析(1)用数学法明，第一步是当n＝1成立．()(2)不是等式是不等式，用数学法明，由n＝k到n＝k＋1，数都增加了一．()(3)用数学法明，假可以不用．()用数学法明等式“2＋⋯＋2n＋2＝2n＋3－1”，n＝1，(4)1＋2＋2左式子1＋2＋22＋23.()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小身(1)下列能用数学法明的是()A．x>sinx，x∈(0，π)B．ex≥x＋1(x∈R)1111n－1*C．1＋2＋22＋⋯＋2n－1＝2－2(n∈N

3、)1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯D．sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(α，β∈R)答案C解析数学法是用来明与自然数有关的命的一种方法，由此可知C符合意．n＋22n＋11－a*(2)用数学法明1＋a＋a＋⋯＋a＝(a≠1，n∈N)，在n＝1，等式左的是()A．1B．1＋aC．1＋a＋a2D．1＋a＋a2＋a3答案C解析验证n＝1，等式左的是1＋a＋a2.能被x＋y整除”，当第二用数学法明“当n＋yn(3)n正奇数，x步假n＝2k－

4、1(k∈N*)命真，而需n＝________，命亦真．答案2k＋1解析由于步2，所以2k－1后一个奇数2k＋1.型一用数学法明恒等式设i虚数位，n正整数，θ∈[0,2π)．用数学法明：(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.明①当n＝1，左＝右＝cosθ＋isinθ，所以命成立；②假当n＝k，命成立，即k(cosθ＋isinθ)＝coskθ＋isinkθ，(cosθ＋isinθ)k＋1＝(cosθ＋isinθ)k·(cosθ＋isinθ)＝(coskθ＋isinkθ)(cosθ＋isinθ)＝(co

5、skθcosθ－sinkθsinθ)＋i(sinkθcosθ＋coskθsinθ)＝cos(k＋1)θ＋isin(k＋1)θ，所以当n＝k＋1，命成立．上，由①和②可得，(cosθ＋isinθ)n＝cosnθ＋isinnθ.2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯数学法明等式的思路和注意点(1)思路：用数学法明等式，要“先看”，弄清等式两的构成律，等式两各有多少，初始n0是多少．(2)注意点：由n＝k等式成立，推出n＝k＋1等式成立，一要找出等式两的化(差异

6、)，明确形目；二要充分利用假，行合理形，正确写出明程．提醒：假就是明n＝k＋1命成立的条件，必用上，否就不是数学法.用数学法明：1222n2nn＋1*1×3＋3×5＋⋯＋2n－12n＋1＝22n＋1(n∈N)．明①当n＝1，左＝12＝1，1×331×1＋11右＝2×2×1＋1＝3，左＝右，等式成立．②假n＝k(k≥1，k∈N*)，等式成立．即12＋22＋⋯＋k2＝kk＋1，1×33×52k－12k＋122k＋1当n＝k＋1，左＝12＋22＋⋯＋k2＋k＋121×33×52k－12k＋12k＋12k＋3kk＋1k＋

7、12＝22k＋1＋2k＋12k＋3＝kk＋12k＋3＋2k＋1222k＋12k＋3＝k＋12k2＋5k＋2＝k＋1k＋2，＋12k＋322k＋322kk＋1k＋1＋1右＝2[2k＋1＋1]k＋1k＋2＝22k＋3，左＝右，等式成立．由①②知，n∈N*，原等式成立．3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯名校名推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯型二用数学法明不等式用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式1＋1311＋11＋－>2n5·⋯·1＋2n12均成立．明①当n＝2，145左＝1＋3＝3，

8、右＝2.∵左>右，∴不等式成立．②假当n＝k(k≥2，且k∈N*)不等式成立．1112k＋1即1＋31＋5·⋯·1＋2k－1>2.当n＝k＋1，111＋11＋11＋31＋5·⋯·2k－1·2k＋1－1>2k＋12k＋22k＋22·＝2k＋12k＋12＝4k2＋8k＋44k2＋8k＋32>22k＋12k＋1＝2k＋32k＋1＝2k＋1＋122k＋12.∴当n＝k＋1，不等式