2020版高考数学一轮复习 第6章 不等式 第3讲 基本不等式讲义 理（含解析）

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1、第3讲　基本不等式[考纲解读]　1.了解基本不等式的证明过程，会用基本不等式解决简单的最值问题．(重点)2.掌握基本不等式内容，“一正二定三相等”缺一不可，能对“积”与“和”相互转化，掌握“拆添项”与“配凑因式”的技巧．(难点)[考向预测]　从近三年高考情况来看，本讲是高考中的一个热点．预测2020年将会考查利用基本不等式求最值或比较大小，也可能与其他知识综合考查，体现基本不等式的工具性．试题难度不大，但技巧性强，灵活多变，客观题或解答题均可能出现.1．基本不等式设a>0，b>0，则a、b的算术平均数为，几何

2、平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．2．利用基本不等式求最值问题已知x＞0，y＞0，则：(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2(简记：积定和最小)．(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是(简记：和定积最大)．注：应用基本不等式求最值时，必须考察“一正、二定、三相等”，忽略某个条件，就会出现错误．3．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)2≤

3、(a，b∈R)，2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)．(5)≥≥ab(a，b∈R)．(6)≥≥≥(a>0，b>0)．1．概念辨析(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是相同的．(　　)(2)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)(3)函数f(x)＝sinx＋的最小值为2.(　　)(4)x＞0且y＞0是＋≥2的充要条件．(　　)答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．小题热身(1)已知f(x)＝x＋－2(x<0)，则f(x)有(　　)A．最大值0B．最

4、小值0C．最大值－4D．最小值－4答案　C解析　因为x<0，所以－x>0，所以－x＋≥2＝2，当且仅当－x＝即x＝－1时等号成立．所以x＋≤－2.所以f(x)＝x＋－2≤－4.即f(x)有最大值－4.(2)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为(　　)A．80B．77C．81D．82答案　C解析　由基本不等式18＝x＋y≥2⇔9≥⇔xy≤81，当且仅当x＝y时，xy有最大值81，故选C.(3)已知lga＋lgb＝2，则lg(a＋b)的最小值为(　　)A．1＋lg2B．2C．1－lg2D．2答案　A

5、解析　由lga＋lgb＝2，可知a>0，b>0，则lg(ab)＝2，即ab＝100.所以a＋b≥2＝2＝20，当且仅当a＝b＝10时取等号，所以lg(a＋b)≥lg20＝1＋lg2.故lg(a＋b)的最小值为1＋lg2.(4)一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．答案　15　解析　设矩形的长为xm，宽为ym．则x＋2y＝30，所以S＝xy＝x·(2y)≤2＝，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝时取等号．题型　利用基

6、本不等式求最值角度1　直接应用1．(2019·沈阳模拟)已知a＞b＞0，求a2＋的最小值．解　∵a＞b＞0，∴a－b＞0.∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝4，当且仅当b＝a－b，a2＝2，a＞b＞0，即a＝，b＝时取等号．∴a2＋的最小值是4.角度2　拼凑法求最值2．求f(x)＝4x－2＋的最大值．解　因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1，当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.角度3　构造不等式求最值(多维探究)3．已知x>0，y>0，

7、x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值为(　　)A．3B．4C.D.答案　B解析　因为x>0，y>0，且x＋2y＋2xy＝8，所以x＋2y＝8－2xy≥8－2.整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≥4或x＋2y≤－8.又x＋2y>0，所以x＋2y≥4.故x＋2y的最小值为4.条件探究　把举例说明3的条件“x＋2y＋2xy＝8”改为“4xy－x－2y＝4”，其他条件不变，求xy的最小值．解　因为x>0，y>0且4xy－x－2y＝4，所以4xy－4＝x＋2y≥2.整理可得2xy－－2≥0

8、.解得≥2即xy≥2，所以xy的最小值为2.角度4　常数代换法求最值(多维探究)4．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，则a＋b的最小值等于(　　)A．2B．3C．4D．5答案　C解析　解法一：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1,1)，所以＋＝1.所以a＋b＝(a＋b)·＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取“＝”，所以a＋b的最小值为4.解法二：因为直线＋＝1(a>0，b>0