第2章：自动控制系统的数学模型.ppt

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1、1第二章控制系统的数学模型引言控制系统的微分方程（时域）微分方程的建立非线性微分方程的线性化控制系统的传递函数（复域）Laplace变换传递函数控制系统的结构图信号流图脉冲响应函数2◆数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。对于同一个系统而言，数学模型不是唯一的。数学模型的形式：如果只需要反映系统静态关系，就可以用代数方程；如果要表示系统输入和输出之间的动态关系，就可以用微分方程、偏微分方程或差分方程。建立模型的方法：机理建模和实验建模。◆系统多个元部件通过某种方式组合在一起所构成

2、的整体。集中参数系统：变量仅仅是时间的函数。动态数学模型通常是微分方程。分布参数系统：变量不仅是时间函数，而且还是空间的函数。动态数学模型通常是偏微分方程。引言3线性系统:满足叠加原理（加和性f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)与齐次性f(kx)=kf(x)）的系统。叠加原理说明两个不同的作用函数同时作用于系统的响应，等于两个作用函数单独作用的响应之和。非线性系统：不满足叠加原理的系统。线性定常系统：线性微分方程的各项系数为常数。线性时变系统：线性系统的微分方程的系数为时间的函数。◆本章讨论的系统

3、：单输入单输出集中参数线性定常系统可以线性化的非线性单输入单输出集中参数定常系统引言4◆建立控制系统微分方程的一般步骤◆在建立系统微分方程模型时，应注意各元件的信号传送的单向性，即前一个元件的输出是后一个元件的输入，一级一级的单向传送；前后连接的两个元件中，后级对前级的负载效应。最后化成标准形式：与输入量相关的写在方程右边，与输出量相关的写在方程左边，两端变量的导数项均按降幂排列。系统原理方块图确定输入输出量各元件的微分方程整理标准形式消去中间变量I/O之间的微分方程简化控制系统的微分方程5控制系统的

4、微分方程◆对任何线性定常系统，假如它的输出为c(t)，输入为r(t)，则系统微分方程模型的一般形式如下：有时将输出的0阶导数项的系数化为1。对于实际的系统，n≥m，而且大多数系统n>m。6试写出外力F(t)与质量块的位移y(t)之间的微分方程。kF(t)mfy(t)◆首先确定输入和输出。◆然后根据物理定律列写方程质量块的运动阻尼器的阻力F1(t)弹簧的恢复力F2(t)◆消去中间变量，化为标准形式式中，T为时间常数，为阻尼比，K为比例系数。f—阻尼系数k—弹性系数微分方程的建立例7◆首先确定输入和输出

5、。◆设回路电流为i(t),由克希霍夫定律写出回路方程为：◆消去中间变量得到描述电路输入输出关系的微分方程为RLCurucR-L-C电路与前面建立的弹簧-质量-阻尼器系统的微分方程比较，二者的结构有相似之处，称为相似系统。令RC=T2，L/R=T1，则微分方程的建立例8◆首先确定输入和输出。◆设回路电流为i1(t)、i2(t)，由克希霍夫定律写出回路方程为：urR1R2ucC2i1i2C1◆消去中间变量i1(t)、i2(t)、uc1，得到描述网络输入输出关系的微分方程为令T1=R1C1，T2=R2C2，

6、T3=R1C2则有负载效应微分方程的建立例9列写微分方程要注意：确切反映系统的动态性能、遵循物理定律。忽略次要因素，简化分析计算。系统由几个储能元件就是几阶微分方程。微分方程的建立例10非线性微分方程的线性化◆问题的提出模型精度越高，模型就越复杂，通常会产生非线性。通常在建立模型时，会在模型精确性和可行性之间做出折衷考虑。◆在一定的条件下或在一定范围内把非线性的数学模型化为线性模型的处理方法称为非线性数学模型的线性化。◆线性化的条件：小偏差理论或小信号理论。在工程实践中，控制系统都有一个额定的工作状态

7、和工作点，当变量在工作点附近作小范围的变化时，就满足这个条件。在工作点附近存在各阶导数或偏导数。◆线性化的方法：在给定工作点的邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶项后，就可得到只包含偏差的一次项的线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。11非线性微分方程的线性化设非线性函数y=f(x)如图所示，如果在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，则在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：如果偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切

8、线的斜率。因此非线性函数在工作点处可以用该点的切线方程线性化。yy=f(x)y0x0x12非线性微分方程的线性化在处理线性化问题时，需要注意以下几点：上述的线性化是针对元件的某一工作点进行的，工作点不同，得到的线性化方程的系数也将不同。因此在线性化时必须确定元件的工作点。在线性化过程中，略去了泰勒级数中二阶以上的无穷小项，如果实际系统中输入量变化范围较大时，采用小偏差法建立线性模型必然会带来较大的误差。线性化后的微分方程通常是增量方程，在实用上为了简便通