三角函数的单调性与值域ppt课件.ppt

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1、?第3课时三角函数的单调性与值域【课标要求】掌握正弦函数、余弦函数的图象，理解并掌握它们的奇偶性、值域相关的性质．【核心扫描】1．了解三角函数的单调性和值域．(重点)2．会求函数的单调区间和值域．(难点)自学导引1．正、余弦函数的单调性正弦函数y＝sinx(x∈R)在上是增函数，在上是减函数；余弦函数y＝cosx(x∈R)在上是减函数，在上是增函数．??????2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)??????2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)[2kπ＋π，2kπ＋2π](k∈Z)想一想：“正弦函数

2、在第一象限内是增函数．”这种说法正确吗？提示不正确．单调性是针对某一个区间而言的，在第一象限内，若α1＝α2＋2kπ，在α1≠α2时，sinα1＝sinα2.2．正、余弦函数的最值及值域正弦函数y＝sinx(x∈R)，当x＝时，y最大＝1，当x＝时，y最小＝－1；余弦函数y＝cosx(x∈R)，当x＝时，y最大＝1，当x＝时，y最小＝－1.y＝sinx的值域为，y＝cosx的值域是．2kπ＋π2，k∈Z2kπ－π2，k∈Z2kπ，k∈Z2kπ＋π，k∈Z[－1,1][－1,1]名师点睛1．y＝sinx与y＝cosx单调性(1)正弦函

3、数与余弦函数在定义域上不单调，说“正弦函数(或余弦函数)在第一象限是增(或减)函数”是错误的．(2)正弦函数y＝sinx(x∈R)的增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)的含义是指在k取每一个整数时，正弦函数在该区间上为增函数，而不是k取每一个整数时，正弦函数在这些并集区间上为增函数．(3)对求含有三角函数的复合函数的单调性，如y＝Asin(ωx＋φ)其中A>0，ω>0的单调区间的确定，基本思想是把ωx＋φ看作一个整体．由2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2，k∈Z，解出x的范围，所得区间即为增区间，若A>0，ω<0，可用诱导

4、公式将函数化简为y＝－Asin(－ωx－φ)，则y＝Asin(－ωx－φ)的增区间为原函数的减区间．2．正(余)弦函数的对称性(1)轴对称：对于正弦函数y＝sinx，x∈R，我们发现函数的图象在每一个最值(最大或最小)点处都有对称轴，方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，而对于余弦函数，将正弦函数的图象向左平移π2个单位长度得到，因此其对称轴方程为x＝kπ，k∈Z.(2)中心对称：对于正弦函数y＝sinx，x∈R，其对称中心为(kπ，0)(k∈Z)，而对于余弦函数，其对称中心为??????kπ＋π2，0(k∈Z)．对称轴和对称中心都有无数个

5、.题型一求单调区间【例1】求函数y＝sin??????π6－x的单调递减区间．[思路探索]本题中自变量的系数为负，故首先利用诱导公式将y＝sin??????π6－x化为y＝－sin??????x－π6形式，由于－1<0只需求y＝sin??????x－π6的单调递增区间即可．解y＝sin??????π6－x＝－sin??????x－π6，由－π2＋2kπ≤x－π6≤π2＋2kπ，得－π3＋2kπ≤x≤2π3＋2kπ，∴单调递减区间为??????－π3＋2kπ，2π3＋2kπ，k∈Z.大家有疑问的，可以询问和交流可以互相讨论下，但要小声

6、点规律方法求与正、余弦函数有关的单调区间的策略(1)结合正、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；(2)形如y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数求单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asinz的单调区间而求出函数的单调区间．求形如y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间同上．【变式1】求函数y＝3cos??????π3－x2的单调递增区间．解由已知函数为y＝3cos??????x2－π3，欲求函数y＝3cos??????π3－x2的单调递增区间，只需求函数y

7、＝3cos??????x2－π3的单调递增区间．由2kπ－π≤x2－π3≤2kπ(k∈Z)，得4kπ－4π3≤x≤4kπ＋2π3(k∈Z)，函数y＝3cos??????π3－x2的单调递增区间为??????4kπ－4π3，4kπ＋2π3(k∈Z)．题型二求值域、最值【例2】求下列函数的值域．(1)y＝

8、sinx

9、＋sinx；(2)y＝2sin??????2x＋π3，x∈??????－π6，π6.[思路探索](1)先去掉题中的绝对值符号，再利用正弦函数的值域求解；(2)注意自变量的取值范围．解(1)∵y＝

10、sinx

11、＋sinx＝???

12、??2sinx?sinx≥0?，0?sinx<0?.又∵－1≤sinx≤1，∴y∈[0,2]，即函数的值域为[0,2]．(2)∵－π6≤x≤π6，∴0≤2π＋π3≤2π3.∴0≤sin??????2x＋π3≤1.∴0≤2sin????