三角函数区间上求值域与单调性

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1、1.(2013·安徽改编)已知函数f(x)＝4cosωx·sin(ω>0)的最小正周期为π.①求ω的值；②讨论f(x)在区间上的单调性与值域．解　①f(x)＝4cosωx·sin＝2sinωx·cosωx＋2cos2ωx＝(sin2ωx＋cos2ωx)＋＝2sin＋.因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0.从而有＝π，故ω＝1.②由①知，f(x)＝2sin＋.若0≤x≤，则≤2x＋≤.当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．综上可知，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．2.已知函数f(x)＝sinω

2、x·cosωx＋cos2ωx－(ω>0)，直线x＝x1，x＝x2是y＝f(x)图象的任意两条对称轴，且

3、x1－x2

4、的最小值为.(1)求f(x)的表达式；(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，若关于x的方程g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，求实数k的取值范围．解　(1)f(x)＝sin2ωx＋×－＝sin2ωx＋cos2ωx＝sin(2ωx＋)，由题意知，最小正周期T＝2×＝，T＝＝＝，所以ω＝2，∴f(x)＝sin.(2)将f(x)的图象向右平移

5、个单位后，得到y＝sin(4x－)的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin(2x－)的图象．所以g(x)＝sin(2x－)．4令2x－＝t，∵0≤x≤，∴－≤t≤.g(x)＋k＝0在区间[0，]上有且只有一个实数解，即函数g(t)＝sint与y＝－k在区间[－，]上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－≤－k<或－k＝1.∴－0)，且y＝f(x)图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求ω的值；(2)求f(x)在区间上的单调

6、区间及最大值、最小值．解　(1)f(x)＝－sin2ωx－sinωxcosωx＝－×－sin2ωx＝cos2ωx－sin2ωx＝－sin.依题意知＝4×，ω>0，所以ω＝1.(2)由(1)知f(x)＝－sin.当π≤x≤时，≤2x－≤.所以－≤sin≤1.所以－1≤f(x)≤.故f(x)在区间上的最大值和最小值分别为，－1.4、已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f－f的单调递增区间．解　(1)由题设图象知，周期T＝2＝π，所以ω＝＝2.因为点在函数图象上，所以Asin＝0，即sin

7、＝0.4又因为0<φ<，所以<＋φ<.从而＋φ＝π，即φ＝.又点(0,1)在函数图象上，所以Asin＝1，解得A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin.(2)g(x)＝2sin－2sin＝2sin2x－2sin＝2sin2x－2＝sin2x－cos2x＝2sin.由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是，k∈Z.三角函数化简练习1.2..44