闭区间求二次函数值域.doc

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1、闭区间求二次函数值域【教学内容】高一《数学》第一册“函数”研究课。【教学过程】一、以实际问题引入以20m/s速度竖直下抛一物体，不计空气阻力s=v0t+gt2，求它在第三秒末到第5秒末之间位移s的最大值和最小值。这是二次函数求最值问题，同学们在初中学过二次函数求最值，自变量取值范围是全体实数，而此题仅需求出给定闭区间内的最大值和最小值。二、提出问题，引发思考(教师质疑引导学生思考)问题1：求二次函数f(x)=a(x-h)2+k,x［p，q］（a＞0）值域。即求y的取值范围，只需求出最大值、最小值即可。(学生们沉默思考)同学

2、1：在两个端点处取得，一个是最大一个是最小。(同学们眼神集中于老师身上，希望教师给出正确答案，教师则不急于肯定或否定。)师：同学1经过思考说出了自己的想法，非常好。同学1的观点是否正确呢？请同学们先做下面练习，边做边思考。求下列函数的值域：(1)y=x2-2x-3，x［-1.5，-1］(2)y=x2-2x-3，x［-1.5，2］(3)y=x2-2x-3，x［2，4］(教师层层设疑，激发学生的学习兴趣，引导学生对问题的深入思考，从而使学生能积极主动地寻求问题的解答。)三、探讨研究，总结规律(一)学生利用多媒体，自己初步探讨教

3、师把利用几何画板作好的多媒体软件传到每位同学计算机上。每一个学生通过计算机使二次函数的变量、区间发生改变，从而对图形引起的相应变化有了具体的、形象的认识。(二)学生相互研究，质疑探讨将学生分成若干组讨论。同学间的质疑引发学生积极思考。师：通过练习，你们看同学1的观点是否正确?l组代表：不正确。师：1组的回答是正确的，那么什么时候最值都是在端点处取得，而什么时候又不是了？最值的取得与什么有关？最值不在端点处取得时，在哪取得最值？你能总结出什么规律吗？(在学生们讨论的同时，教师把利用几何画板制作好的课件发送到学生的计算机上，帮

4、助学生思考。)课件l：在给定区间上，每位学生在计算机上通过改变a、h、k而改变抛物线的图象，使学生探究解析式中哪个量与问题解决是息息相关的，哪些是无关紧要的，以便确定分类标准。课件2：给定抛物线，学生可以自己变化区间，这样可以帮助学生严谨思考，研究得出完整的结论。(经充分讨论后，由组代表总结发言，其他同学补充。)2组代表：应以对称轴分类讨论。将我们组同学们的观点总结成以下表格。h[p，q]h[p，q]最大值f(p)，f(q)中较大者f(p)，f(q)中较大者最小值f(h)f(p)，f(q)中较小者师：我们能否用函数的性质解

5、释同学1结论不完整的原因?3组代表：应该用函数的单调性。不包括对称轴时，闭区间是单调的，两个端点恰好是最值点；包括对称轴时，则闭区间不是单调的，两个端点不一定是最值点了。师：回答得相当好。谁能总结出具有可操作性的步骤？(锻炼学生概括能力)4组代表：应先判断闭区间是否包括对称轴。不包括，则最值在端点处取得；若包括，那么对称轴是其中的一个最值，另一个最值在端点处取得。师：说得非常好，那么包括对称轴的情况时，另一个最值在哪一个端点处取得，有什么规律?4组代表：哪个更高或更低就是谁?师：你这个更高或更低怎么看?5组代表：画图。师：

6、很好！这就是数形结合，做题是我们常用的数学思想方法。5组的同学们能想到用图形非常好，望同学们向他们学习。除了用数形结合，还可以怎么判断？(同学们思考，教师在图形中提示、引导。)5组代表：谁离对称轴远，谁就是另外一个最值。师：太好了，这样问题就简化了，我们就只需比较距离即可得到答案。四、探究炼习，自悟延伸学生们通过问题1的解决，已经掌握了二次函数求值域的规律。问题2、3设置是对学生进行“矫正、强化、提高”的探究性训练练习。学生通过对问题2、3的解决深入理解问题1总结出的规律。问题2：含有参数变量的二次函数求值域。1．f(x)

7、=ax2+2ax+1，x[-3，2]有最大值4，求实数a；2．f(x)=-x2+2ax+1-a在区间[0，1]的最大值是2，求实数a；3．y=x2-2x+3在区间[0，m]有最大值2，求m的取值范围；4．g(x)=x2-2x+2，x[t，t+1]的最小值g(t)，求g(t)的解析式。说明：此部分练习的内容主要由学生自己利用计算机探究，并让学生在教师的主机上演示给每一位学生。每个练习题都有配套的几何画板软件，学生可在自己的计算机上亲自操作，与计算机进行交流，借助几何画板图形的直观性和动态性，思考、研究得出正确结论。例如，在第

8、3题中学生可通过拖动点M图象动态的变化，自觉地进行分类来解决问题。问题3：求含有参数变量的二次函数在闭区间恒大于(或恒小于)常数的参变量的取值范围。求，f(x)=-x2+2ax+1-a[0，1]恒大于2的取值范围。即为求最小值大于2，问题3实为问题2的延伸。