B-6-3-6.3-子群及其陪集概述ppt课件.ppt

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1、第六章群、环、域吉林大学董旭初§6.3子群及其陪集一、子群的定义二、子群的判别条件三、循环群四、陪集abcdbcda一、子群的定义如何用数学语言表达“旋转”操作？顺时针旋转90°abcdcdab顺时针旋转180°abcddabc顺时针旋转270°，r◦r，r◦r◦rabcdabcd顺时针旋转0°({I,r,r2,r3}，◦)是一个群，记为r，记为I一、子群的定义abcddcbaabcdadcb翻转abcdcbad翻转，s◦r，s◦r◦r◦rabcdbadc翻转，记为s翻转，s◦r◦r({I,r,r2,r3,s,sr,sr2,sr3}，◦)是一个群({

2、I,r,r2,r3}，◦)是它的一个子群一、子群的定义定义6.4.1设(G,·)是一个群，HG，如果(H,·)仍是一个群，则(H,·)叫做(G,·)的子群。如果G的一个子群H不等于G，即HG，则(H,·)叫做(G,·)的真子群。（1）G的子群H具有与G相同的运算。（2）一般地，在群G中成立的性质，在子群H中仍然成立。（3）群G一般都有两个明显的子群，称为G的平凡子群：①由其单位元素组成的子群{1}，称为G的单位子群；②G本身。其余的子群（如果有的话）称为非平凡子群。一、子群的定义例1．（mZ,+）是整数加法群（Z,+）的一个子群。例2．（R,+）

3、、（Q,+）、（Z,+）都是（C,+）的真子群。例3．（R*,·）、（Q*,·）都是（C*,·）的真子群。例4．行列式等于1的所有n阶矩阵是所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个真子群。例5．n次交代群是n次对称群的一个真子群。例6．（C*,·）不是（C,+）的子群。一、子群的定义例7．设Z6={0,1,2,3,4,5}，则Z6在整数模6加法下是一个群，其中：{0}和Z6是该群的两个平凡子群；{0,3}和{0,2,4}是Z6的两个非平凡子群；{0,1,3,5}不是Z6的子群。(Z6,+6)的子群032415一、子群的定义例8.设(G,*)是群，对G中任意a

4、,令H={x

5、x*a=a*x,xG},试证明(H,*)是(G,*)的子群。证明：①显然1H,即H非空且有壹。②对任意x、yH，有(x*y)*a=x*(y*a)=x*(a*y)=(x*a)*y=(a*x)*y=a*(x*y)，故x*yH，即H中*运算封闭。③显然，*运算在H中仍满足结合律。④对任意xH，有x*a=a*x，于是x-1*(x*a)*x-1=x-1*(a*x)*x-1，化简得到a*x-1=x-1*a，即x-1H。■H称为群G的中心一、子群的定义课后练习设G是一个群，H是G的一个子群。aG。试证：aHa-1={aha-1

6、hH}

7、是G的子群。（aHa-1也称为H一个的共轭子群）一、子群的定义1？a-1？a二、子群的判别条件定理6.4.1（判别条件一）群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是：(1)若a∈H、b∈H，则ab∈H；(2)若a∈H，则a-1∈H；(3)H非空。证明：（必要性）若H是G的子群，则(1)、(3)显然，现证(2)。先证H中壹就是G中壹。设1G是G中单位元、1H是H中单位元。任取a∈H，则在H中有：1Ha=a，此式在G中也成立，两边右乘a-1得(1Ha)a-1=aa-1，即1H(aa-1)=1G，1H1G=1G，故1H=1G。由群的定义，对于H中的a，

8、应有b∈H使，ab=1H=1G，此式在G中亦成立，两边左乘a-1得b=a-11G=a-1，因而a-1∈H，即(2)成立。二、子群的判别条件证明：（充分性）设(1)(2)(3)成立。由(3)知H非空，由(2)知G中运算在H中亦封闭。由(1)，H中的两个元素a、b可以在H内相乘，在G中成立的结合律在子集H中自然成立。往证H中有单位元1G。任取a∈H，由(2)：a-1∈H，由(1)：aa-1∈H，即1G∈H；又G和H中运算相同，故1G也是H中单位元。往证H中任意元素a有逆。由(2)：a-1∈H，又G和H中运算相同，故a-1即a在H中之逆。综上，H在G的运算

9、下是一个群，故是G的子群。■二、子群的判别条件子群H与大群G的关系H的单位元就是G的单位元，H中任一元素a在H中的逆元也就是a在G中的逆元。1a-1aGH二、子群的判别条件定理6.4.2（判别条件二）定理6.4.1中的两个条件(1)(2)可以换成下面一个条件：若a∈H、b∈H，则ab-1∈H（*）。证明：设(1)(2)成立，往证（*）成立。设a∈H、b∈H，由(2)，b-1∈H，由(1)，ab-1∈H，因而（*）成立。设（*）成立，往证(1)(2)成立。设a∈H，由(*)：a∈H，a∈H，故aa-1∈H，即1∈H。又由(*)：1∈H，a∈H，故1a-

10、1∈H，即a-1∈H，因而(2)成立。设a∈H、b∈H，因为(2)已证，故b-1∈H。再由(*)推知，a∈H