第12讲 第2章第9节 子群的陪集

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1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第9节子群的陪集河北师范大学子群陪集的概念是对群进行分类的有力工具，它是由伽罗瓦于1830年首先引入群论的.子群的陪集实际上就是群的基础集在某种等价关系下的类.本节中将给出陪集的概念和相关的性质，对有限群则给出重要的定理—拉格朗日定理，这也是群论中一个定量的定理.一、集合的积设为群,是群定义若，则的两个非空子集,二、陪集的引入引例整数加群，模n的剩余类：构成的一个分类：现利用群的观点，分析此分类的特点：即说明整数加群按上面同余关系分类和利用子群分类是一回事，将其推广

2、至一般群：命题1：证明：首先～～～～～～～命题2：注：对同一个群，由同一个子群确定的上述两种等价关系未必相同，因此其左右陪集也不同。下面看一个例子～例1在中的全部不同的右陪集有:在中的全部不同的左陪集有:右陪集的性质1）2）3）4）同样的，对左陪集也有类似性质。定义2设是子群在群中的所有不同的左陪集，称等式为群关于子群的左陪集分解，而称为群的一个左陪集代表系.关于子群群中每个元素属于且只属于一个左陪集，可以按照其子群的左陪集分类.因此群若则上例中左陪集代表系同时是右陪集代表系。是否所有的左陪集代表系同时是右陪集代表系吗？即上述猜测是不对的，引发下面两个问题

3、1）什么时候左陪集代表系同时是右陪集代表系；2）如何由一个给定的左陪集代表系得到一个对应的右陪集代表系。定理1设，,则是到映射.证明的个数相同，或者都为无限大或有限且相等。的左陪集的个数与右陪集,的一一定义3称群的子群的不同左(右)在中的指数..陪集的个数(有限或无限)为记作例1中三、有关陪集的主要性质由此可知，即是群关于子群的一是群的一个右陪集代表系.个左陪集代表系，则关于子群定理2设，则群陪集都与H含有相同个数的元素.到的一一映射;是,的任何一个左（或右）证明:到的一一映射.又由群中消去律成立知它是单射，因而它是同理，定理3(Lagrange定理)对有

4、限群，则证明因为,所以也是有限群，，且所以,在中左陪集的个数也有限.设从而推论推论1有限群子群的阶整除群的阶.的任一元素的阶都能推论3设群的阶数是n,则对任意的,.推论2有限群整除群的阶数.Thanksamillion