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时间：2020-02-07
《第14讲 第2章第11节 同态与不变子群.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第11节同态与不变子群河北师范大学若存在群到群的同态满射则称群与群同态；若存在群到群的同构映射则称群与群同构.假定是集合到的一个满射，，称为在之下的象；，称在之下的逆象.为复习：群与同态，是到的同态满射，则(1)(2)(3)(4)(5)定理1(6)是循环群，则也是循环群.群与同态，是到的同态满射，则(2)证明：定义设是群到群的同态映射,是的单位元.称在中的所有的核,记作逆象组成的集合为同态映射例如是到的同态映射={全体偶数}引理1若是群到群的同态满射，则证明：引理2若是
2、群到群的同态映射,是单射则证明：而是单射若，则是单射.定理2群同它的每个商群定义称群到商群的同态满射为的自然同态.同态.到注：证明：定理3（群同态基本定理）群与同态，是到满射，则的同态证明：取说明：（1）定理2说明任何群都同它的商群同态；同另一个群同态，在同构意义下是的一个商群.定理3说明一个群则这个群因此，在同构意义下，定理2与定理3的意思是：每个群能而且只能同它的商群同态.因此，群的同态象的数目等于商群个数。要研究一个群的全部同态象只需找到它的全部商群，进而只需找到它的全部不变子群(3)设与是有限群，且则推论：循环群的商群也是循环群.整除(2)引理1和定理
3、2也说明不变子群与同态之间是一一对应的.定理4设是群到群的同态满射,，则又证明：取(了解)例4，则证明：Thanksamillion
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