第11讲 第2章第8节 子群.ppt

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1、近世代数(AbstractAlgebra)主讲教师：蔡炳苓（河北师范大学数学与信息科学学院)第8节子群河北师范大学河北师范大学利用群的某些子集来研究整个群的性质是群论研究的方法之一.本节我们将考虑这样一些有特殊性质的子集合.定义1例1设和都的子群，它们称为的平凡子群.是群,是的单位元，则非平凡子群称为真子群.设是群，是的一个非空子集.中元素的二元运算也构成群，如果按是的一个子群，记为.则称是例2证明：运算封闭：结合律对S3的所有元成立，对H的元也成立；(1)是H的单位元；(1)的逆元为（1），(12)的逆元为（12）.性质1设是群,.则作为

2、中元素时在中的逆元.的单位元是的单位元；(1)中元素在中的逆元也是(2)证明：设是的单位元，则，由消去律，,在中，则，.设在中的逆元记为的逆元记为由消去律定理1设是群的非空子集,则的充分必要条件是：，有(2)，有(1)充分性：由(1)，中结合律也成立；由(2),中每一个元素证明：必要性：由子群定义及性质1，显然成立(1)(2).并且由，则都有逆元，所以是子群.定理2设是群的非空子集,则(3)，有证明：必要性：(1)(2)推(3)，再由(1)，.，由(2)，对充分性：由(3)，对,于是，单位元因此从而由得定理3设是群的非空有限子集,则，有证明

3、：必要性显然，下证充分性：(*).由条件(*)，是一个半群，又因为群有消去律，从而也有消去律，.注：这个定理，只要求H是有限集，并没有要求G是有限集.例3设例4={数域F上的全体n阶可逆矩阵}H={数域F上的全体行列式等于1的n阶方阵}例5证明：只需说明运算封闭：同理可以知道：{(1),(13)};{(1),(23)};{(1),(123),(132)}也是三次对称群的子群.找出S3所有子群!例6一个群的两个子群的交仍是其子群.注:(1)子群的并未必是子群;如整数加群中(2)∪(3)（2）子群的积未必是子群：AB是子群当且仅当AB=BA.（

4、练习）关于生成子群注：性质3：循环群的子群还是循环群.证明：设是循环群，性质2：循环群，则证：例7.找出中的所有子群.Thanksamillion