《子群的陪集》PPT课件.ppt

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1、第8节子群的陪集主要内容:子群的陪集Lagrange定理Lagrange定理的应用正规子群与商群预备知识：等价关系等价类集合的划分商集陪集的定义定义1设H是群G的子群，a∈G.令aH={ah

2、h∈H}称aH是子群H在G中的左陪集.称a为aH的代表元素.令Ha={ha

3、h∈H}，称Ha是子群H在G中的右陪集.称a为Ha的代表元素.陪集的实例例1设G={e,a,b,c}是Klein四元群，H=(a)={e,a}是G的子群.H所有的左陪集是：eH={e,a}=H,aH={a,e}=H,bH={b,c},cH={c,b}不同的左

4、陪集只有两个，即H和{b,c}.eabceabceabcaecbbceacbaeH所有的右陪集？陪集的实例例2设S={1,2,3},S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}.H所有的左陪集是：(1)H={(1),(12)}=(12)H=H(13)H={(13),(132)}=(132)H(23)H={(23),(123)}=(123)H不同的左陪集只有3个,即H,(13)H,(23)H.H={(1),(12)}是S3的子群.H所有的右陪集是：H(1)={(1),(12)}=H(12)=HH(13)={(13)

5、,(123)}=H(123)H(23)={(23),(132)}=H(132)不同的右陪集只有3个,即H,H(13),H(23).左陪集的基本性质性质1设H是群G的子群，则(1)eH=H;(2)a∈G有a∈aH.性质2设H是群G的子群，则a,b∈G有a∈bHb∈aHa1b∈HaH=bH.性质3设H是群G的子群,则(1)a∈G，aH≠;(2)a,b∈G，aH=bH或aH∩bH=;(3)∪aH=G.性质4设H是群G的子群，则H的所有左陪集构成的集族是G的一个划分.右陪集的基本性质性质1′设H是群G的子群，则(1)He=H

6、;(2)a∈G有a∈Ha.性质2′设H是群G的子群，则a,b∈G有a∈Hbb∈Haba1∈HHa=Hb.性质3′设H是群G的子群,则(1)a∈G，Ha≠;(2)a,b∈G，Ha=Hb或Ha∩Hb=;(3)∪Ha=G.性质4′设H是群G的子群，则H的所有右陪集构成的集族是G的一个划分.有关陪集的问题设H是群G的子群。H的所有左陪集都是G的非空子集。请问：H的左陪集一定是G的子群吗？判别群G的非空子集是其子群的方法？判别群G的非空子集不是其子群的方法？性质6设H是群G的子群，令Sl为H的所有左陪集构成的集族，Sr为H的所

7、有右陪集构成的集族，则

8、Sl

9、=

10、Sr

11、.陪集的基本性质性质5设H是群G的子群，则a,b∈G，

12、aH

13、=

14、bH

15、=

16、H

17、=

18、Ha

19、=

20、Hb

21、.Lagrange定理定理1（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则

22、G

23、=

24、H

25、·[G:H]其中[G:H]是H在G中的不同左陪集(或右陪集)个数，称为H在G中的指数.证设[G:H]=r，a1,a2,…,ar分别是H的r个不同右陪集的代表元素，G=Ha1∪Ha2∪…∪Har

26、G

27、=

28、Ha1

29、+

30、Ha2

31、+…+

32、Har

33、由

34、Hai

35、=

36、H

37、，i=1,2,

38、…,r,得

39、G

40、=

41、H

42、·r=

43、H

44、·[G:H]Lagrange定理的推论推论1设G是n阶群，则a∈G，

45、a

46、是n的因子，且有an=e.证任取a∈G，(a)是G的子群，(a)的阶是n的因子.(a)是由a生成的子群，若

47、a

48、=r，则(a)={a0=e,a1,a2,…,ar1}即(a)的阶与

49、a

50、相等,所以

51、a

52、是n的因子.从而an=e.Lagrange定理的推论推论2对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G=(a).证设

53、G

54、=p，p是素数.由p≥2知G中必存在非单位元.任取a∈G，a≠e，则(a)是G的子群.根据

55、Lagrange定理，(a)的阶是p的因子，即(a)的阶是p或1.显然(a)的阶不是1，这就推出G=(a).Lagrange定理的应用命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群.证设a为G中任意元素，有a1=a.任取x,y∈G，则xy=(xy)1=y1x1=yx，因此G是Abel群.Lagrange定理的应用例3证明6阶群中必含有3阶元.证设G是6阶群，则G中元素只能是1阶、2阶、3阶或6阶.若G中含有6阶元，设为a，则a2是3阶元.若G中不含6阶元，下面证明G中必含有3阶元.如若不然，G中只含1阶和2阶元，即a∈G，有a2

56、=e，由命题知G是Abel群.取G中2阶元a和b，ab，令H={e,a,b,ab}，则H是G的子群，但

57、H

58、=4，

59、G

60、=6，与Lagrange定理矛盾.例4证明阶小于6的群都