§64子群及其陪集(离散数学

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1、§6.4子群及其陪集6.4.1子群的定义6.4.2子群的判别条件6.4.3循环群6.4.4陪集6.4.1子群的定义子群设（G，·）是一个群，HG，如果(H，·)仍是一个群，则（H，·）叫做（G，·）的子群。真子群如果G的一个子群H不等于G，即HG，则（H，·）叫做（G，·）的真子群。Note:G的子群H的运算必须与G的运算一样，比如，（C*，·）不是（C，+）的子群。子群的例例.（mZ，+）是整数加法群（Z，+）的一个子群，其中m为整数。例.（C，+）以（R，+）、（Q，+）、（Z，+）为其真子群。例.（C*，·）以（R*，·）

2、、（Q*，·）为其真子群。例.行列式等于1的所有n阶矩阵作成实数域上所有n阶非奇异矩阵的乘法群的一个真子群。例.n次交代群是n次对称群的一个真子群。平凡子群任一群G都有两个明显的子群,称为G的平凡子群：由其单位元素组成的子群{1}，称为G的单位子群；G本身。其余的子群（如果有的话）称为非平凡子群。6.4.2子群的判别条件判别条件一定理6.4.1群G的一个子集H是G的一个子群的充分必要条件是：(1)若a∈H，b∈H，则ab∈H；(2)若a∈H，则a-1∈H；(3)H非空。判别条件一证明：必要性若H是G的子群，则(1)、(3)显然。现要

3、证（2）.(错误证法：由H是G的子群知，H是群，故对a∈H，有b∈H，使得ab=1，所以b是a的逆，由a的逆的唯一性，知a-1=b,而b∈H，故a-1∈H。)判别条件一先证H中的单位元就是G中的单位元。设1G是G中的单位元，1H是H中的单位元。任取a∈H，则在H中有：1Ha=a，故在G中也成立。以a-1右乘得（1Ha）a-1=aa-1，即，1H（aa-1）=1G，1H1G=1G，故，1H=1G。判别条件一由群的定义，对于H中的a，应有b∈H，使，ab=1H，而1H=1G，因此，ab=1G，此式在G中亦成立，以a-1左乘得b=a-1

4、1G=a-1，因而a-1∈H，即（2）成立。必要性证毕。充分性设(1),(2),(3)成立。由(3)，H非空。由(1)，H内运算封闭.在G中成立的结合律在子集H中自然成立。往证H中有单位元1G。任取a∈H,由(2),a-1∈H,由(1),aa-1∈H，即1G∈H；1G在G中适合1Ga=a，故在H中亦有此性质。往证H中任意元素a有逆.因由(2),a-1∈H，但是G中，a-1a=1G，此式在H中亦应成立，故a-1即a在H中之逆。综上，H在G的运算下是一个群，故是G的子群。子群H与大群G的关系：H的单位元就是G的单位元，H中任一元素a在H

5、中的逆元也就是a在G中的逆元。应用判别条件一例设（H1，·），（H2，·）是群（G，·）的两个互不包含的子群，证明：H1∪H2≠G。证明：因H1∪H2G，故只需证G中存在一个元素，它既不属于H1，也不属于H2。由H1，H2互不包含知，存在x，y，使得x∈H1，且xH2，y∈H2，且yH1。往证x·yH1，且x·yH2。用反证法，若x·y∈H1，则由x∈H1及由H1是G的子群知，x-1∈H1，故，x-1·（x·y）∈H1，即，y∈H1，与yH1矛盾。若x·y∈H2，则由y∈H2及由H2是G的子群知，y-1∈H2，故，（x·

6、y）·y-1∈H2，即，x∈H2，与xH2矛盾。因此，x·yH1∪H2，而x·y∈G，所以H1∪H2≠G。判别条件二定理6.4.2判别条件一中的两个条件（1），（2）可以换成下面一个条件（*）若a∈H，b∈H，则ab-1∈H。证明：设(1),(2)成立，往证（*）成立。设a∈H，b∈H，由（2），b-1∈H，故由（1），ab-1∈H，因而（*）成立。设（*）成立，往证(1),(2)成立。设a∈H，由（*）可推得，a∈H，a∈H，故aa-1∈H,即1∈H。若a∈H，又由（*）可推得，1∈H，a∈H，则1a-1∈H，即a-1∈H，因

7、而（2）成立。设a∈H，b∈H，因为（2）已证,故b-1∈H。再由(*)推知,a∈H,b-1∈H,则a（b-1）-1∈H，即ab∈H，故（1）成立。应用判别条件二例给定整数m，证明(mZ,+)是一个群。证明：注意到(Z,+)是一个群，mZ是Z的非空子集，因此，只需证(mZ,+)是(Z,+)的子群。对任意x,y∈mZ,存在k,l∈Z，使得x=km,y=lm,于是x-y=km-lm=(k-l)m∈mZ。因此，(mZ,+)是(Z,+)的子群，当然本身是一个群。判别条件三定理6.4.3设H群G的一个有限非空子集，则H是G的子群的充分必要条件

8、是H对G的运算是封闭的，即若a∈H，b∈H，则ab∈H。提示：充分性证明可用教材201页习题2得出的结论：若集合非空、有限、运算封闭、且适合结合律、消去律，则为群。还可以利用判别条件一证。证明：必要性显然。充分性。由判别条件一知，只需