直角坐标系下的二重积分ppt课件.ppt

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1、8.2直角坐标系下的二重积分第八章多元函数积分一、矩形区域上的二重积分矩形区域上的二重积分可以转化为累次积分（即计算两次定积分）来计算设函数在闭矩形区域上连续，则：称为累次积分几何解释：几何意义：立体体积用横截面计算立体体积abxA(x)ox﹡应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的计算方法，来计算曲顶柱体的体积注：累次积分矩形区域的特点：累次积分的计算方法：若先对积分，则把看成常数，求出的积分是关于的函数，再对积分；若先对积分，则把看成常数，求出的积分是关于的函数，再对积分；例1：求下列二重积分⑴⑵定理：若

2、函数在可积，在可积，则乘积在也可积，且例2：计算二重积分二、型区域上的二重积分1、型区域的定义称下述区域为型区域：型区域的特点：2、型区域上二重积分的计算在型区域上的积分计算可以转化为先对，后对的累次积分，即：例3：计算下列二重积分⑴⑵是由所围成.⑵的图形三、型区域上的二重积分1、型区域的定义称下述区域为型区域：型区域的特点：2、型区域上二重积分的计算在型区域上的积分计算可以转化为先对，后对的累次积分，即：例4：计算二重积分是由所围成.⑴⑵⑴的图形型区域的特点：穿过区域且平行于轴的直线与区域边界相交不多于两个交

3、点.型区域的特点：穿过区域且平行于轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域是下图形式，则必须分割，在分割后的三个区域上分别使用积分公式：型区域、型区域、矩形区域统称为标准型区域.四、二重积分计算中的问题再讨论二重积分的计算，关键在于化为两次定积分来计算，而在化为两次定积分的计算过程中，最重要的是两个问题：⑴如何选择积分次序；⑵如何确定积分上下限.1、如何选择积分次序⑴正确画出区域的图形是选择积分次序的关键，既使是最简单的区域也要求首先画出图形；⑵对复杂区域分块；⑶选择两次积分的次序，关系到二重积分计算的繁简

4、，甚至关系到该积分是否能计算出结果.如：与积分区域是：是求不出来的，而却可以求出来.2、如何确定积分上下限⑴二重积分化为二次积分，其上限一定不能小于下限；⑵第一次积分的积分限是由第二次积分的积分变量所表示的函数，第二次积分的积分限为常数；①先对积分（积分变量是）：下限为（的下方曲线）上限为（的上方曲线）后对积分（积分变量是）：下限是在轴上投影的左端点的横坐标上限是在轴上投影的右端点的横坐标②先对积分（积分变量是）：下限为（的左方曲线）上限为（的右方曲线）后对积分（积分变量是）：下限是在轴上投影的左端点的横坐标上

5、限是在轴上投影的右端点的横坐标例5：计算下列二重积分⑴⑵⑶由与所围成由所围成由所围成⑴⑵⑶例6：改变下列累次积分的积分次序⑴⑵⑴⑵五、利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分设，有：⑴若关于轴轴对称，且是关于与的偶函数，则：其中表示位于第一象限的部分；⑵若关于轴轴对称，且是关于与的奇函数，则：⑶若关于轴（或轴）对称，且是关于（或）的偶函数，则：其中表示位于轴上方（轴右方）部分；⑷若关于轴（或轴）对称，且是关于（或）的奇函数，则：例7：计算下列二重积分⑴⑵⑶是由所围成