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《ch21.2 直角坐标系下二重积分的计算ppt课件.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、§2直角坐标系下二重积分的计算一、在矩形区域上二重积分的计算二、在x型或y型区域上二重积分的计算三、在一般区域上二重积分的计算1一、在矩形区域上二重积分的计算定理21.8设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且2证令定理要求证明在上可积,且积分的结果恰为二重积分.为此,对区间与分别作分割按这些分点作两组直线3把矩形D分为rs个小矩形(图21-4).记为小矩形设在上的上确界和下确界分别为和.在区间中任取一点于是就有不等式其中因此4其中记的对角线长度为,于是由于二重积分存在,由定理21.4,当时,使和有相同的极限,且极限值等于因此当时,由不
2、等式(2)可得:5(3)由于当时,必有因此由定积分定义,(3)式左边定理21.9设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分6也存在,且定理21.9的证明与定理21.8相仿.特别当在矩形区域上连续时,则有7例1计算其中解应用定理21.8(或定理21.9),有8对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集为x型区域;称平面点集为y型区域.二、在x型或y型区域上二重积分的计算910定理21.10若在x型区域D上连续,其中在上连续,则即二重积分可化为先对y、后对x的累次积分.11定义在上的函数容易知道函数在上可积,而且证由于与在闭区间上连
3、续,故存在矩形区域(如图(a)).现作一12在上连续,则二重积分可化为先对x、后对y的累次积分类似可证,若D为(b)所示的y型区域,其中13后积先定限中间划根线先交是下限后交是上限定限口诀14曲顶柱体体积：曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的几何解释15说明:(1)若积分区域既是x型区域又是y型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干x-型区域或y-型区域,则16例2设D是由直线及围成的区域(图21-6),试计算:的值.解若用先对y、后对x的积分,则有由于的原函数无法求得,因此改用另
4、一种顺序的累次积分来计算:117的累次积分来计算:1用先对x、后对y的积分18例3解：（如图）将D作Y型-1219例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为20例5.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为x型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.21解积分区域如图［x型］将D改写成：［y型］22解积分区域如图［x型］［x型］［y型］23解原式24解25解曲面围成的立体如图.26所围立体在面上的投影如右图27三、在一
5、般区域上二重积分的计算边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共内点的x型区域或y型区域.如图21-8所示,D被分为x型区域,为y型区域.解成三个区域,其中、28例11解：先去掉绝对值符号，如图29例12计算其中解记(见图21-11)303132例13设为上的连续函数,试将二重积分化为不同顺序的累次积分.解(1)先对积分,再对积分.(见图21-9),其中为此设33所以有(2)先对积分,再对积分.类似地有:34(见图21-10)35二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［y型］［x型］36思考题37思考题解
6、答3839练习题40414243练习题答案4445
