直角坐标系下二重积分计算ppt课件.ppt

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1、§2直角坐标系下二重积分的计算复习：曲顶柱体的体积求以曲面为顶，底面为矩形的曲顶柱体的体积。求曲顶柱体体积步骤如下：⑴分割：将矩形任意分为n块可求面积的小块其面积仍记为。相应地将曲顶柱体分割成n个小曲顶柱体，分别记为⑵近似代替：在每一小块上任意取一点则小曲顶柱体的体积可用直柱体的体积近似代替，即⑶求和：把n个小曲顶柱体的体积相加，便得到所求曲顶柱体体积的近似值取极限，如果该极限存在，那末此极限值就定义为曲顶柱体的体积。这个和式的极限正好就是上一章引进的二重积分，故所求曲顶柱体的体积，等于相应的二重积

2、分的值：⑷取极限：记在和式中令由于此曲顶柱体的底面是一矩形，所以此曲顶柱体的体积还可以用另一种方法来计算。先复习定积分应用中的一个结果：设空间立体位于平面与平面之间，用与轴垂直的平面截立体，截得截面的截面面积为，则此立体的体积为化二重积分为二次积分作与轴垂直的平面，设截得曲顶柱体截面的面积为立体位于平面与平面之间，则曲顶柱体体积为而就是平面上，由曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，所以从而因此类似地，也可以用与轴垂直的平面来截曲顶柱体，同样可得从上面的分析，可以得到下列结果：定理21.8设在矩形上可积，

3、含参变量积分存在，则设在矩形上可积，含参变量积分存在，则类似地可以给出先对后对积分的结果：设在矩形上连续，则我们经常使用的是连续函数，对连续函数有下列结果：定理21.9前面讨论了矩形区域上的二重积分的计算方法，下面考虑一般区域上二重积分的计算。根据积分区域的特点，分三种情况讨论。这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于y轴的直线段。这时二重积分可化为先对后对的二次积分。第一种情形：积分区域D由两条曲线及两条直线围成，即作包含此积分区域的矩形令于是第二种情形：积

4、分区域D由曲线及直线围成，即这时二重积分可化为先对后对的二次积分。这种区域的特点是：与轴垂直的直线与区域的边界至多有两个交点，或者有部分边界是平行于x轴的直线段。第三种情形：一般情形，这时可用平行于轴与平行于轴的直线将积分区域分成上述两种情形求解。X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.解积分区域如图解积分区域如图解原式解解解解曲面围成的立

5、体如图.例8求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解设这两个直交圆柱面的方程为：由图形的对称性=8=8=8=二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－型］作业:P222:1,2,3,4.思考题思考题解答