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1、§2直角坐标系下二重积分的计算二重积分计算的要点是把它化为定积分.这里有多种方法,其中最常用的是在直角坐标系下化为累次积分.一、在矩形区域上二重积分的计算二、在x型或y型区域上二重积分的计算三、在一般区域上二重积分的计算返回一、在矩形区域上二重积分的计算定理21.8设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且证令定理要求证明在上可积,且积分的结果恰为二重积分.为此,对区间与分别作分割按这些分点作两组直线把矩形D分为rs个小矩形(图21-4).记为小矩形设在上的上确界和下确界分别为和.在区间中任取一点于是就有不等式其中因此其中记的对角线长度为,于是由
2、于二重积分存在,由定理21.4,当时,使和有相同的极限,且极限值等于因此当时,由不等式(2)可得:(3)由于当时,必有因此由定积分定义,(3)式左边定理21.9设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且定理21.9的证明与定理21.8相仿.特别当在矩形区域上连续时,则有例1计算其中解应用定理21.8(或定理21.9),有对于一般区域,通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集为x型区域(图21-5(a));称平面点集为y型区域(图21-5(b)).二、在x型或y型区域上二重积分的计算这些区域的特点是当D为x型区域时,垂直于x轴的直线至多与区
3、域D的边界交于两点;当D为y型区域时,直线至多与D的边界交于两点.定理21.10若在如(4)式所示的x型区域D上连续,其中在上连续,则即二重积分可化为先对y、后对x的累次积分.证由于与在闭区间上连续,故存在矩形区域(如图21-5(a)).现作一定义在上的函数容易知道函数在上可积,而且类似可证,若D为(5)式所示的y型区域,其中在上连续,则二重积分可化为先对x、后对y的累次积分例2设D是由直线及围成的区域(图21-6),试计算:的值.解若用先对y、后对x的积分,则有由于的原函数无法求得,因此改用另一种顺序的累次积分来计算:例3计算二重积分其中D为由直线及所围的三角
4、形区域(图21-7).解当把D看作x型区域时,相应的所以例4求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V.解设圆柱底面半径为a,两个圆柱方程为利用对称性,只要求出在第一卦限(即)部分(见第十章图10-9)的体积,然后再乘以8即得所求的体积.第一卦限部分的立体是一曲顶柱所以它的体积为D:底为四分之一圆域体,曲顶为于是三、在一般区域上二重积分的计算边界为分段光滑曲线的有界闭域,一般可把它分解成有限个除边界外无公共内点的x型区域或y型区域.如图21-8所示,D被分为x型区域,为y型区域.解成三个区域,其中、例5设为上的连续函数,试将二重积分化为不同顺序的累次积分.解(
5、1)先对积分,再对积分.(见图21-9),其中为此设所以有(2)先对积分,再对积分.类似地有:(见图21-10)例6计算其中解记(见图21-11)则又有(2)若则复习思考题1.若可求面积的区域满足条件:又设在上可积.证明:(1)若则(1)在上连续;(2)若在上连续,求证:2.设是区域上的可积函数.其中求证:其中
