直角坐标系下二重积分的计算(II)

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1、§2直角坐标系下二重积分的计算(化二重积分为累次积分)1.矩形域上的二重积分(1)问题的提出11例1设求解：因在有界闭区域上连续，所以在上可积。（因此，对上的任一分割，当其细度时，有相同的极限，故只需求出一个和式的极限即可）作D的分割T:作积分和:令取极限得例1设求注意下面的做法:是一种巧合?还是必然?(2)化二重积分为累次积分定理21.8设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且定理21.8设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且证令即要证在上可积,且即要证设为上的分割:为上的分割:相应得

2、到的分割将分为个小矩形.记在上任取一点令取极限得即定理21.8设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且定理21.9设在矩形区域上可积,且对每个积分存在,则累次积分也存在,且推论设在矩形区域连续，则例1计算其中解：2.一般区域上的二重积分计算(1)型区域与型区域型区域型区域型区域可表为:型区域可表为:2.一般区域上的二重积分计算(1)型区域与型区域型区域型区域型区域可表为:型区域可表为:★任何区域都可分割分为型区域与型区域的组合.★一个平面区域,有时可视为为x型区域,也可视为y型区域的组合.★将有界平面区域,

3、分化为适当为x-型区域和y-型区域的组合，对计算二重积分非常重要.例1可视为区域：可视为区域：例2在第一象限部分。可视为区域：可视为区域：例3可将D分为两个x-型区域可将D分为两个y-型区域例4D:（D为x-型区域）(2)分二重积分为累次积分预备定理:若在有界闭区域上有界,为连续函数,其图象含于中.若的不连续点落在曲线上,则在上可积.定理21.10若在区域上连续,都在上连续,则定理21.10若在区域上连续,都在上连续,则证:由于都在上连续,故存在矩形区域令则由预备定理,在上可积,且定理21.10若在区域上连续,都在上连续,则

4、若积分区域为型区域:则习题课内容：1、改变积分顺序2、二重积分的计算例2.设f(x,y)在区域D上连续,试将二重积分表示为不同顺序的累次积分(1)D由不等式y≤x,y≥a,x≤b(0≤a

5、)所确定的区域;解:将D视为x-型区域:则将D视为y-型区域:则例2.设f(x,y)在区域D上连续,试将二重积分表示为不同顺序的累次积分(2)D由不等式所确定的区域;解:将D视为x-型区域:则将D视为y-型区域:则(3)解:将D分为左右两个x-型区域:则例3.在下列积分中改变累次积分的顺序:(1)解:积分区域为:如图所示,将D分为两个y-型区域:故(2)解:积分区域为:将D分为上下两个y-型区域:故原积分可化为:(3)解:如图所示,积分区域D由下列曲线围成:将D视为y-型区域:原积分可化为:5.计算下列二重积分:(1)D由抛

6、物线与直线所围成的区域.解:(方法1)将D视为x-型区域:(方法2)将D视为y-型区域:(2)其中解:(3)D如图所示(绿色部分)a解:圆的方程为:(4)其中解：考察D的边界。由得将D表为x-型区域例1求两圆柱所围成的体积V.例1求两圆柱所围成的体积V.解:利用对称性,只要求出第一卦限的体积再乘以8即可.在第一卦限部分的立体是以曲面为顶,以为底的的曲顶柱体,其体积为所以