重积分-直角坐标系下二重积分的计算

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1、第二讲直角坐标系下二重积分的计算内容提要直角坐标系下二重积分的计算教学要求理解和熟练掌握二重积分的计算。预备知识：(1)曲顶柱体体积：(2)在直角坐标下，x二重积分(3)平行截面面积为已知的立体的体积如果积分区域为（1）X－型区域1.对积分区域的讨论：X-型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.1.直角坐标系下二重积分的计算如果积分区域为（2）Y－型区域Y-型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.可以用平行于坐标轴的直线(3)一般区域：把D分解成有限个x--型区域或y--型区域2.二重积分的计算公式：通

2、常写成：如果积分区域为[y--型]：类似的有：通常写成：计算二重积分需要注意以下几点：(1)在计算二重积分时，首先根据已知条件确定积分区域D是x-型还是y-型区域，由此确定将二重积分化为先y后x的二次积分还是先x后y的二次积分。(2)当积分区域D既是x-型区域，又是y-型区域时，把二重积分化为二次积分时，就有两种积分顺序：先y后x先x后y(3)如果用平行于坐标轴的直线与积分区域D的则必须分割区域D根据二重积分的性质交线多于两个交点，如图。解法一：D为X--型区域二重积分化为先y后x的二次积分解法二：D为Y--型区域二重积分化为先x后y的二次积分解将D化为X--型

3、区域将D化为Y--型区域D为X--型区域解：画出积分区域D的图形.求出各个交点，如图将D化为X--型区域将D化为Y--型区域这样计算量就比X--型区域的计算量大的多因此，计算二重积分时，要适当的选择积分区域。D为y-型区域解将D化为X--型区域无法用初等函数表示,无法积分.将D化为Y--型区域解积分区域由两个y-型区域构成转化积分区域为Y-型区域积分区域为X-型区域解由原积分知，积分区域为两个Y-型区域转化积分区域为X-型区域解积分区域由两个X-型区域构成转化积分区域为Y-型区域的次序.二重积分在直角坐标下的计算（在积分中要正确选择积分次序）小结［Y－型］［X－

4、型］解积分区域为X-型区域（如图）故原式转化积分区域为Y-型区域改变积分的次序.练习