《一元二次方程的解法》经典例题精讲.docx

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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯《一元二次方程的解法》经典例题精讲例1解方程x2250．分析：解一元二次方程的方法有四种，而此题用直接开平方法较好．解：x2250，x225，x25，x＝±5．∴x15，x25．例2解方程(x3)22．分析：如果把x＋3看作一个字母y，就变成解方程y22了．解：(x3)22，x32，x32，或x32，∴x132，x232．例3解方程4(x2)2810．分析：解此题虽然可用因式分解法、公式法来解，但还是用直接开平方法较好．解：

2、4(x2)2810整理，4(x2)281，(x2)2814，x922，∴x113，x2522．注意：对可用直接开平方法来解的一元二次方程，一定注意方程有两个解；若x2a，则xa；若(xa)2b，则xba．例4解方程x23x20．分析：此题不能用直接开平方法来解，可用因式分解法或用公式法来解．解法一：x23x20，(x－2)(x－1)＝0，x－2＝0，x－1＝0，1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯∴x11，x22．解法二：∵a＝1，b＝－3，c＝2，∴b24

3、ac(3)241210，x31∴2．∴x12，x21．注意：用公式法解方程时，要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值，先计算“△”的值，若△<0，则方程无解，就不必解了．例5解关于x的方程x2m(3x2mn)n20．分析：先将原方程加以整理，化成一元二次方程的一般形式，注意此方程为关于x的方程，即x为未知数，m，n为已知数．在确定b24ac0的情况下，利用公式法求解．解：把原方程左边展开，整理，得x23mx(2m2mnn2)0．∵a＝1，b＝－3m，c2m2mnn2，∴b24ac(3m)241(2m2mnn2)m

4、24mn4n2(m2n)20．x3m(m2n)22∴3m(m2n)2．∴x12mn，x2mn．注意：解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样，都要先把方程化为一般形式，确定a、b、c和b24ac的值，然后求解．但解字母系数方程时要注意：(1)哪个字母代表未知数，也就是关于哪个未知数的方程；(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相混淆；(3)在b24ac开平方时，可能会出现两种情况，但根号前有正负号，已包括了这两种可能，因此，(m2n)2(m2n)．例6用配方法解方程2

5、x237x．分析：解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解，但配方法的方法本身重要，要记住．解：2x237x，x27x3022，2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7x22x77302442，x7225416，x7544．∴x113，x2．∴2注意：用配方法解一元二次方程，要把二次项系数化为1，方程左边只有二次项，一次项，右边为常数项，然后方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边就配成了一个二项式的完全平方．例7不解方程，判别下列方程的根的情况：(1)2x23

6、x40；(2)16y2924y；(3)5(x21)7x0．分析：要判定上述方程的根的情况，只要看根的判别式b24ac的值的符号就可以了．解：(1)∵a＝2，b＝3，c＝－4，∴b24ac3242(4)410．∴方程有两个不相等的实数根．(2)∵a＝16，b＝－24，c＝9，∴b24ac(24)241690．∴方程有两个相等的实数解．(3)将方程化为一般形式5x257x0，5x27x50．∵a＝4，b＝－7，c＝5，∴b24ac(7)2455＝49－100＝－51<0．∴方程无实数解．注意：对有些方程要先将其整理成一般

7、形式，再正确确定a、b、c的符号．例8已知方程5x2kx60的一个根是2，求另一根及k的值．x1x2b，x1x2c分析：根据韦达定理aa易得另一根和k的值．再是根据方程解的意义可知x＝2时方程成立，即把x＝2代入原方程，先求出k值，再求出方程的另一根．但方法不如第一种．解：设另一根为x2，则3⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2x2k，2x26，55∴x235，k＝－7．3即方程的另一根为5，k的值为－7．bc注意：一元二次方程的两根之和为a，两根之积为a．

8、例9利用根与系数的关系，求一元二次方程2x23x10两根的(1)平方和；(2)倒数和．分析：已知x13111x22，x1x22．要求(1)x12x22，(2)x1x2，11关键是把x2x2x1x2转化为含有x1x2、x1x2的式子．12、因为两数和的平方，等于两数的平方和加上这两数积的2倍，即(ab)2a2b22ab，所以a2b2(ab)22a