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时间:2020-02-29
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1、..《一元二次方程的解法》经典例题精讲例1解方程.分析:解一元二次方程的方法有四种,而此题用直接开平方法较好.解:,,,x=±5.∴.例2解方程.分析:如果把x+3看作一个字母y,就变成解方程了.解:,,,∴.例3解方程.分析:解此题虽然可用因式分解法、公式法来解,但还是用直接开平方法较好.解:整理,,,,∴.注意:对可用直接开平方法来解的一元二次方程,一定注意方程有两个解;若,则;若,则.例4解方程.分析:此题不能用直接开平方法来解,可用因式分解法或用公式法来解.解法一:,(x-2)(x-1)=0,x-2=0,x-1=0,.下载可编辑...∴.解法
2、二:∵a=1,b=-3,c=2,∴,∴.∴.注意:用公式法解方程时,要正确地确定方程各项的系数a、b、c的值,先计算“△”的值,若△<0,则方程无解,就不必解了.例5解关于x的方程.分析:先将原方程加以整理,化成一元二次方程的一般形式,注意此方程为关于x的方程,即x为未知数,m,n为已知数.在确定的情况下,利用公式法求解.解:把原方程左边展开,整理,得.∵a=1,b=-3m,,∴.∴.∴.注意:解字母系数的一元二次方程与解数字系数的一元二次方程一样,都要先把方程化为一般形式,确定a、b、c和的值,然后求解.但解字母系数方程时要注意:(1)哪个字母代表
3、未知数,也就是关于哪个未知数的方程;(2)不要把一元二次方程一般形式中的a、b、c与方程中字母系数的a、b、c相混淆;(3)在开平方时,可能会出现两种情况,但根号前有正负号,已包括了这两种可能,因此,.例6用配方法解方程.分析:解一元二次方程虽然一般不采用配方法来解,但配方法的方法本身重要,要记住.解:,,.下载可编辑...,,∴.∴.注意:用配方法解一元二次方程,要把二次项系数化为1,方程左边只有二次项,一次项,右边为常数项,然后方程两边都加上一次项系数一半的平方,左边就配成了一个二项式的完全平方.例7不解方程,判别下列方程的根的情况:(1);(2
4、);(3).分析:要判定上述方程的根的情况,只要看根的判别式的值的符号就可以了.解:(1)∵a=2,b=3,c=-4,∴.∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵a=16,b=-24,c=9,∴.∴方程有两个相等的实数解.(3)将方程化为一般形式,.∵a=4,b=-7,c=5,∴=49-100=-51<0.∴方程无实数解.注意:对有些方程要先将其整理成一般形式,再正确确定a、b、c的符号.例8已知方程的一个根是2,求另一根及k的值.分析:根据韦达定理易得另一根和k的值.再是根据方程解的意义可知x=2时方程成立,即把x=2代入原方程,先求出k值,再求出方程
5、的另一根.但方法不如第一种.解:设另一根为,则.下载可编辑...,∴,k=-7.即方程的另一根为,k的值为-7.注意:一元二次方程的两根之和为,两根之积为.例9利用根与系数的关系,求一元二次方程两根的(1)平方和;(2)倒数和.分析:已知.要求(1),(2),关键是把、转化为含有的式子.因为两数和的平方,等于两数的平方和加上这两数积的2倍,即,所以,由此可求出(1).同样,可用两数和与积表示两数的倒数和.解:(1)∵,∴;(2)=3.注意:利用两根的和与积可求两根的平方和、倒数和,其关键是把平方和、倒数和变成两根的和与积,其变形的方法主要运用乘法公式
6、.例10已知方程的两根平方和是34,求m的值..下载可编辑...分析:已知,求m就要在上面三个式子中设法用来表示,m便可求出.解:设方程的两根为,则.∵,∴=-30.∵,∴m=-30.注意:解此题的关键是把式子变成含的式子,从而求得m的值.例11求一个一元二次方程,使它的两个根是2、10.分析:因为任何一元二次方程都可化为(二次项系数为1)的形式.如设其根为,根据根与系数的关系,得.将p、q的值代入方程中,即得所求方程.解:设所求的方程为.∵2+10=-p,2×10=q,∴p=-12,q=20.∴所求的方程为.注意:以为根的一元二次方程不止一个,但一
7、般只写出比较简单的一个.例12已知两个数的和等于8,积等于9,求这两个数.分析:把这两个数看作某个二次项系数为1的一元二次方程的两个根,则这个方程的一次项系数就应该是-8,常数项应该是9,有了这个方程,再求出它的根,即是这两个数.解:设这两个数为,以这两个数为根的一元二次方程为.∵,∴方程为.解这个方程得,∴这两个数为..下载可编辑...例13如图22-2-1,在长为32m,宽为20m的长方形地面上,修筑两条同样宽而且互相垂直的道路,余下的部分作为绿化用草地,要使草地的面积为,那么道路的宽度应是多少?分析:设道路的宽度为xm,则两条道路的面积和为.题
8、中的等量关系为:草地面积+道路面积=长方形面积.解:设道路的宽度为xm,则.,(x-2)(x-50)=0,x
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