第2讲一元二次方程的解法.docx

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1、第2讲一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程和方程就可以直接开平方法求解。如果方程化成的形式，那么可得如果方程化成的形式，那么，再解两个一元一次方程，即可得到如果方程化成的形式，可以两边同时开平方，将其转化成和两个一元一次方程，解出即可。注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。　　②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。　③方法是根据平方根的意义开平方，并且有正、负两个值。【例1】形如（1）（2）变式练习：解下列方程（

2、1）（2）（3）9x2-25＝0（4）12【例2】形如（1）（2）（3)（4）变式练习：（1）（2）（3）(4)【例3】形如：（1）（2）（3）122.配方法：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，即可进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解。如：用配

3、方法解方程①将常数移到方程的右边：②将二次项系数化为1：③方程两边都加上一次项系数一半的平方：④配方：⑤直接开平方得：∴，配方法的理论依据是完全平方公式配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。【例4】用配方法解下列方程（1）（2）12（3）（4）变式练习：用配方法解下列方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）12【例5】试用配方法说明的值恒大于0，的值恒小于0变式练习：1.求证：（1）；（2）；2.已知x、y为实数，求代数式的最小值。123.公式法：将一元二次方程进行配方，当≥0时的根为．该式称为一

4、元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法称为求根公式法，简称公式法．说明：（1）一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)；（2）由求根公式可知，一元二次方程的根是由系数a、b、c的值决定的；（3）应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2.一元二次方程根的判别式叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“△”来表示，一元二次方程的根的情况与判别式△的关系：（1）当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根

5、；（3）当b2－4ac＜0时，方程没有实数根．【例6】用公式解法解下列方程（1）（2）（3）（4）12变式练习：（1）（2）（3）（4）（5）；（6）；总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为整数，求出的根要化为最简形式；(2)用求根公式法解方程按步骤进行．4.因式分解法:把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次

6、方程的方法叫做因式分解法※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”，※方程形式：如，，※分解方法:提公因式,利用平方差与完全平方公式,十字相乘法12【例7】将下列各式进行因式分解（1）(平方差)（2）(提公因式)（3）（平方差)（4）(完全平方式)（5）(完全平方式)（6）（十字相乘法）（7）（十字相乘法）【例8】用因式分解法解下列一元二次方程（1）（2）（3）（4）（5）（6）12变式练习：1.的根为（）A.B.C.D.2.方程的解为（）A.B.C.D.3.已知,则的值为。4.若，则4x+y的值为。5.解下列方程（1）（2）（3）5m2–

7、17m+14=0（4）（5）（6）（7）125.换元法:把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。一般它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程中有广泛的应用。【例9】用换元法解方程时,令=y,于是原方程变为（）A.y-5y+4=0B.y-5y-4=0C.y-4y-5=0D.y+4y-5=0变式练习：1.用换元法解方程时,令=y,于是原方程变为（）A.5y-4y+1=0B.5y-4y-1=0C.-5y-4y-1=0D.-5y-4y-1=02.用换元法解分式,并设,那么原方程化为（）A

8、.B.C.D.3.用换元法解方程,设,则原方程变形为（）A.B.C.D.4.用换