第2讲一元二次方程的解法

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1、第2讲一元二次方程的解法1.直接开平方法：如果一元二次方程的一边是未知数的平方或含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负数，或完全平方式，如方程x2=p(p>0)和方程(nx+m}1=p(p>0)就可以直接开平方法求解。如果方程化成/=p(p>0)的形式，那么可得x=±^p如果方程化成(nx+m)2-二/7(#、0)的形式，那么处+加=±J万，再解两个一元一次方程，即可得到%严鞋_皿血二nn如果方程化成(处+加)2=(°兀+方)2的形式，可以两边同时开平方，将其转化成nx+m.=ax+b和ivc+m=~(ax+b)两个一元一次方程，解出兀即可。注意：①等号左边

2、是-个数的平方的形式而等号右边是一个非负数。②降次的实质是由一个一元二次方程转化为两个一元一次方程。③方法是根据平方根的意义开平方，并J1有正、负两个值。【例1】形如兀$=/?(/?>0)(1)2x2-8=0;(2)x2-25=0变式练习：解下列方程(1)宀121(2)x2-64=0(3)9x2-25=0(4)7x2-25=0【例2】形如(HX+加)2=p(p>0)(1)(x+3)2=4(2)(兀+2尸-25=0(3)4(1+兀尸=9(4)2(1-x)2-6=0变式练习：(1)(3x+2)2=4(2)(兀+2尸-25=0(3)40—5)2=16⑷9/一24^+1

3、6=11【例3］形如：(处+加)2=(6/X+/?)2(1)(2x-l)2=4(x+3)2(2)4(x—5)2=9(2%—3)2(3)9(x-1)2=16(x+2)22.配方法：将一元二次方程配成(ox+/?)2=m(m>0)的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为一般形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1,并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，即町进一步通过直接开平方法求出它的解，如果右边是

4、一个负数，贝ij判定此方程无实数解。如：用配方法解方程3x2-4x-2=0①将常数移到方程的右边：3x2-4x=247①将二次项系数化为1：x2--x=-3347??②方程两边都加上一次项系数一半的平方：x2--x+(--)2=-+(--)233337in③配方：(兀一兰)2二出39④直接开平方得：x--=±^~33.2Vio2Vio••x=—I,=133〜33配方法的理论依据是完全平方公式a2+2ah+b2=(°±h)2配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1,然后在方程两边同吋加上一次项系数一半的平方。【例4】用配方法解下列方程(1)y2-6y-6

5、=0(2)2兀？+3兀一1=0(3)3x2-2=4x(4)x2+2fnx-n2-0变式练习：用配方法解下列方程(1)x2-4x-5=0(2)x2-4x=96(3)2x2+3x-l=0(4)3x2+2x-l=0(5)一4，一8尤+1=0(6)x2-2mx-m2=0(m>0)【例5】试用配方法说明%2-2x4-3的值恒大于0,-2x2+3x-4的值恒小于0变式练习：1.求证:(1)x~—4x+5n0；(2)—3x~—6x+457；2.已知x、y为实数，求代数式%2+y2+2x-4y+7的最小值。3•公式法：将一元二次方程cix2+bx+c=O(a^O)进行配方，当沪

6、-4ac20时的根为—b+lb2—4cic兀=•该式称为一元二次方程的求根公式，用求根公式解一元二次方程的方法2a称为求根公式法，简称公式法.说明:(1)一元二次方程的公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(aHO)；(2)由求根公式可知，一元二次方程的根是宙系数a、b、c的值决定的；(3)应用求根公式可解任何一个有解的一元二次方程，但应用时必须先将其化为一般形式.2.一元二次方程根的判别式b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=O(a^O)的根的判别式，通常用“△”來表示，一元二次方程的根的情况与判别式△的关系：(1)

7、当b2-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；(2)当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；(3)当b2-4ac<0时，方程没有实数根.【例6】用公式解法解下列方程(1)x2-2x-8=Q(2)4y=l--y22(3)3)^+1=2屈变式练习:(1)2x2一5x+l=0(2)-4x2-8x=-1(3)V2x2-V3x-V2=0(4)(x-3Xx+2)=6(5)+10=0；(6)尸+2=2尽;总结：(1)用求根公式法解一元二次方程首先将方程化为一般形式；如果二次项系数为负数，通常将其化为正数；如果方程的系数含有分母，通常先将其化为胳数，求出的根要化为最简形

8、式;(1)用求根公式法解