线性代数行列式完整版ppt课件.ppt

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1、第1章行列式行列式是线性代数的一个重要组成部分.它是研究矩阵、线性方程组、特征多项式的重要工具.本章介绍了n阶行列式的定义、性质及计算方法，最后给出了它的一个简单应用——克莱姆法则.第1章行列式n阶行列式的定义行列式的性质行列式按行（列）展开克莱姆法则—行列式的一个简单应用数学实验2第1.1节n阶行列式的定义本节从二、三阶行列式出发，给出n阶行列式的概念.基本内容：二阶与三阶行列式排列及其逆序数n阶行列式定义转置行列式返回3即称其为二阶行列式.记号：它表示数：左上角到右下角表示主对角线，4例１例２设(1)当为何值时，(2)当为何值时解或右上角到左下角表示次对角线，例3求二阶行列式(2)三阶行

2、列式记号即称为三阶行列式.它表示数7可以用对角线法则来记忆如下.8主对角线法9例4计算三阶行列式解:由主对角线法，有10例5例6满足什么条件时有解由题可得，即使即时，给定的行列式为零．例7的充分必要条件是什么？解或或练习：计算下列行列式解1.排列及其逆序数(1)排列由自然数1,2,…,n,组成的一个有序数组i1i2…in称为一个n级排列.如：由1,2,3可组成的三级排列有3！=6个：123132213231312321（总数为n!个）注意:上述排列中只有第一个为自然顺序(小大),其他则或多或少地破坏了自然顺序(元素大小与位置相反)——构成逆序.§1.2n阶行列式15(2)排列的逆序数定义：

3、在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2…in).=3=2例1N(2413)N(312)16(2)排列的逆序数定义：在一个n级排列i1i2…in中，若某两数的前后位置与大小顺序相反,即is>it(t>s),则称这两数构成一个逆序.排列中逆序的总数,称为它的逆序数，记为N(i1i2…in).奇偶排列:若排列i1i2…in的逆序数为奇（偶）数，称它为奇（偶）排列.=3=2例1N(2413)N(312)17逆序数的计算方法即例2N(n(n-1)…321)N(135…(2n-1

4、)(2n)(2n-2)…42)=0+1+2+…+(n-1)=n(n-1)/2=2+4…+(2n-2)=n(n-1)证明：对换：对换在一个排列i1…is…it…in中，若其中某两数is和it互换位置,其余各数位置不变得到另一排列i1…it…is…in,这种变换称为一个对换,记为(isit).例3定理1.1：任一排列经过一个对换后奇偶性改变。19对换在相邻两数间发生，即设排列…jk…(1)经j,k对换变成…kj…(2)此时，排列(1)、(2)中j,k与其他数是否构成逆序的情形未发生变化；而j与k两数构成逆序的情形有变化：若(1)中jk构成逆序,则(2)中不构成逆序(逆序数减少1)若(1)中jk不

5、构成逆序,则(2)中构成逆序(逆序数增加1)一般情形设排列…ji1…isk…(3)经j,k对换变成…ki1…isj…(4)易知，(4)可由(3)经一系列相邻对换得到：k经s+1次相邻对换成为…kji1…is…j经s次相邻对换成为…ki1…isj…即经2s+1次相邻对换后(3)成为(4).相邻对换改变排列的奇偶性，奇数次这样的对换后排列的奇偶性改变.

6、

7、20定理1.2．思考练习（排列的逆序数详解）方法1在排列x1x2…xn中，任取两数xs和xt(s

8、，有故排列x1x2…xn与xnxn-1…x1中逆序之和为此即22方法2n个数中比i大的数有n-i个(i=1,2,…,n),若在排列x1x2…xn中对i构成的逆序为li个,则在xnxn-1…x1中对i构成的逆序为(n-i)-li,于是两排列中对i构成的逆序之和为li+[(n-i)-li]=n-i(i=1,2,…,n)此即23（二）n阶行列式定义分析：(i)每一项均是由取自不同行、不同列的三个元素的乘积构成，除符号外可写为(ii)符号为“+”123231312（偶排列）“-”321213132（奇排列）(iii)项数为3！=624推广之，有如下n阶行列式定义定义：是所有取自不同行、不同列n个元素

9、的乘积并冠以符号的项的和.(i)是取自不同行、不同列的n个元素的乘积；(ii)行标按自然顺序排列，列标排列的奇偶性决定每一项的符号；(iii)表示对所有的构成的n！个排列求和.26例1证明下三角行列式证：由定义和式中,只有当所以下三角行列式的值等于其主对角线上各元素的乘积.27例2计算解由行列式定义,和式中仅当29注：例3用行列式的定义来计算行列式解设练习：例4应为何值，符号是什么？此时该项的解此时或(1)若