线性代数行列式的展开计算ppt课件.ppt

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1、计算解决这个问题,先学习余子式和代数余子式的概念.一般来说,低阶行列式的计算比高阶行列式的计算要简便,于是,自然地考虑用低阶行列式来表示高阶行列式的问题.本节我们要解决的问题是,如何把高阶行列式降为低阶行列式,从而把高阶行列式的计算转化为低阶行列式的计算.为了解第三节行列式按行（列）展开一、余子式与代数余子式二、行列式按行（列）展开法则三、小结例如一、余子式与代数余子式启示:三阶行列式可按第一行“展开”.对式适当重新组合,易见该三阶行列式也可按第一列“展开”.余子式和代数余子式Aij叫做元素aij的代数余子式.定义在n阶行列式中,把元素ai

2、j所在的第i行和第j列划去后,剩下的元素按它们在原行列式中的相对位置组成的n–1阶行列式叫做元素aij的余子式,记作Mij;Aij=(–1)i+jMij,记在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．例如定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即二、行列式按行（列）展开法则这个定理叫做行列式按行（列）展开法则.证明例1计算行列式解按第二行展开，得例2试按第

3、三列展开计算行列式解将按第三列展开,则有其中解其中所以例3例4计算行列式解例5证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式的每列都是某一个数的不同方幂，且自上而下方幂次数由0递增至n-1证明对n作归纳法.当n=2时，结论成立.设对于n–1阶范德蒙德行列式结论成立，现在来看n阶的情形.在n阶范德蒙德行列式中，第n行减去第n–1行的a1倍，第n–1行减去第n–2行的a1倍.也就是由下而上依次地从每一行减去它上一行的a1倍，有按第1列展开，并把列的公因子(ai–a1)提出，得上式右端行列式是n–1阶范德蒙德行列式，按归纳法假设，它等于所有(

4、ai–aj)因子的乘积，其中2≤j

5、,我们已能计算任意阶的行列式.行列式的计算是我们这一章的重点,也是同学们必须掌握的基本技能.行列式有以下三种计算方法:行列式时,应根据实际情况灵活选择计算方法.行列式的计算在这三种方法中,方法1主要用于理论分析,很少用来计算具体的行列式,但对于低阶行列式(如二阶、三阶)或有很多零元素的高阶行列式,有时也可用此方法来计算;方法2适用于行列式的阶不确定的高阶行列式的计算;方法3主要用于阶为已知的高阶行列式的计算.当然在计算一个下面看几个例子.下面举几个n阶行列式计算的例子.例设证明递推关系式Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2(n>2)

6、.按Dn的第n列展开,得证明展开,即为上式中n的代数余子式是与Dn同类型的n-1阶行列式Dn-1,而对n-1的余子式按第n-1行n-1Dn-2,至此我们得到Dn=nDn-1-n-1n-1Dn-2.证毕关系式在计算数学中常被引用.Dn是常见的n阶三对角行列式,所证的递推例计算n阶行列式=D1+(n-1)=n+1.这是一个三对角行列式,在这里i=2,i=i=1(i=1,2,···,n),由果可得Dn=2Dn-1-Dn-2.适当移项可得关于Dn的递推关系式Dn-Dn-1=Dn-1-Dn-2=Dn-2-Dn-3=···=D2-D1

7、.因D2=4-1=3,D1=2,D2-D1=1,所以Dn=Dn-1+1=(Dn-2+1)+1=···的结解第四节Cramer法则一、非齐次与齐次线性方程组的概念二、Cramer法则三、小结设线性方程组则称此方程组为非齐次线性方程组;此时称方程组为齐次线性方程组.一、齐次与非齐次线性方程组的概念二、Cramer法则定理1如果线性方程组的系数行列式不等于零，即其中Di是把系数行列式D中第i列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式，即那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为例1用Cramer法则解方程组解:89-50程的个数与未

8、知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.