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时间:2020-09-13
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1、§2行列式的性质与计算§1行列式的定义§3行列式展开定理、克拉默法则第一章行列式一、余子式、代数余子式二、行列式按一行(列)展开法则§3行列式展开定理、克拉默法则三、克拉默法则引例可见,三阶行列式可通过二阶行列式来表示.一、余子式、代数余子式定义在n阶行列式中将元素所在的第i行与第j列划去,剩下个元素按原位置次序构成一个阶的行列式,称之为元素的余子式,记作.令称之为元素的代数余子式.注:①行列式中每一个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式.无关,只与该元素所在行列式中的位置有关.②元素的余子式和代数余子式与 的大
2、小元素除外都为0,则1.引理二、行列式按行(列)展开法则若n阶行列式D=中的第i行所有证:先证 的情形,即由行列式的定义,有结论成立.一般情形:结论成立.2.定理行列式D等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即或行列式按行(列)展开法则证:例1.计算行列式解:例2.计算n阶行列式解:例3.证明范德蒙行列式证:用数学归纳法.时,假设对于阶范德蒙行列式结论成立.即结论成立.把从第n行开始,后面一行减去前面一行的倍,得下证对于n阶范德蒙行列式 结论也成立.范德蒙行列式中至少两个相等.注:范德蒙行列
3、式另一形式:3.推论行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即证相同∴当时,同理可证,综合定理及推论,有关于代数余子式的重要性质:例4.计算2n阶行列式其中未标明的元素都是0.自然科学与工程技术中,我们会碰到未知数的个数很多的线性方程组——如n元一次线性方程组它的解也有类似二元、三元一次线性方程组的结论.三、克拉默法则(Cramer,瑞士,1704~1752)定理如果线性方程组(1)的系数行列式则方程组(1)有唯一解(2)Cramer法则其中是把行列式中第列所得的一个n级行列式,即
4、的元素用方程组(1)的常数项 代换注解1:克拉默(Cramer)法则中包含着两个前提和三个结论:前提:(1)线性方程组(1)中方程的个数等于未知量的个数;(2)线性方程组(1)的系数矩阵的行列式不等于零.结论:(1)线性方程组(1)有解;(2)线性方程组(1)的解是唯一的;(3)线性方程组(1)的解由公式(2)给出.例5用克拉默法则解方程组解:方程组的系数行列式程的个数与未知量的个数不等时,就不能用克拉通过上述例子,我们看到用克拉默法则求解线性方程组时,要计算n+1个n阶行列式,这个计算量是相当大的,所以,在
5、具体求解线性方程组时,很少用克拉默法则.另外,当方程组中方默法则求解.注解2:但这并不影响克拉默法则在线性方程组理论中的重要地位.克拉默法则不仅给出了方程组有唯一解的条件,并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系.注解3:
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