行列式的展开定理.ppt

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1、行列式的展开定理n阶行列式的性质性质1.1行列式与它的转置行列式相等.性质1.2交换行列式的两行(或两列)的位置,则行列式的绝对值不变而符号改变.推论1.1如果一个行列式的两行(或两列)完全相同,则这个行列式等于零.性质1.3.把一个行列式的某一行(列)的所有元素乘以同一个数k,等于用k乘这个行列式.推论一个行列式中某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外边.推论1.2如果一个行列式有两行(列)的对应元素成比例,那么这个行列式等于零.性质1.4设某行列式的第i行的所有元素都是两项之和,则:对于列也有类似的性质.性质1.5把行列

2、式的某一行(列)的元素乘以同一数后加到另一行(列)的对应元素上,行列式不变.1.4行列式按行（列）展开一.余子式、代数余子式的定义二.按行(列)展开定理三.例5,6，7一1.余子式:n(n>1)阶行列式D的某一元素aij的余子式Mij是指在D中去掉aij所在的第i行和第j列后所得到的n–1阶子式.例2.在四阶行列式中a23的余子式是:3.代数余子式:设Mij是n(n>1)阶行列式D的元素aij的余子式,则称Aij=(–1)i+jMij是aij的代数余子式.例3.在四阶行列式中a23的代数余子式是:二.按行(列)展开定理引理1.1如果n阶行

3、列式D的第i行(或列)中的元素除外都是零,则D=aijAij=(–1)i+jaijMij.定理1.2n阶行列式D等于它的任一行(列)的所有元素与它们的对应的代数余子式的乘积的和.即:定理1.4.3n阶行列式D的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式的乘积的和等于零.即,当ij时:第i行原来的第j行，用第i行去换行列式有两行相同，值为0综上，得公式在计算数字行列式时，直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n－1）阶行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展

4、开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。利用行列式按行按列展开定理，并结合行列式性质，可简化行列式计算：计算行列式时，可先用行列式的性质将某一行（列）化为仅含1个非零元素，再按此行（列）展开,变为低一阶的行列式，如此继续下去，直到化为三阶或二阶行列式。另外，一些含变元的高阶（如n阶）行列式，不可能按照上述方法完全展开，也需要利用行列式的展开定理，选择n阶行列式的某个含有较多零元的行（列）展开，化为较低阶的行列式，进而得到递归公式。例1计算行列式解按第一行展开，得例3计算解本例中利用行列式的性质将所给行列式的某行（列）化成只含有一个非零

5、元素，然后按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数可降低1阶，如此继续进行，直到行列式能直接计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种方法对阶数不高的数字行列式比较适用．证用数学归纳法例4证明范德蒙德(Vandermonde)行列式n-1阶范德蒙德行列式例6求三对角行列式的值例7：1.5克莱姆规则(1)本节将给出当方程的个数与数的个数相等时线性方程组有唯一解的条件,并用行列式表示出这个唯一的解.一.线性方程组的系数行列式设给定了一个有n个未知数n个方程的方程组:由它的系数构成的n阶行列式称为方程组(1)的系数行列式.二.线性方程组有唯一

6、解的条件(克莱姆规则)定理1.4(克莱姆规则)线性方程组(1)当它的系数行列式D0时有且仅有一个解:其中,Dj是把行列式D中的第j列元素用方程组(1)的常数项b1,b2,…,bn代替后得到的行列式.例解线性方程组