行列式的展开.ppt

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1、第四讲行列式的展开行列式的计算核心思想是“造零”、“降阶”.上一次课我们利用性质5解决了“造零”的问题，今天我们将解决“降阶”的问题.一、余子式与代数余子式例如结论因为行标和列标可唯一标识行列式的元素，所以行列式中每一个元素都分别对应着一个余子式和一个代数余子式.二、行列式的展开定理例如按第一行展开按第二行展开例如例1计算行列式解例2证明用数学归纳法例3证明范德蒙德(Vandermonde)行列式所以n=2时(*)式成立.(*)假设(*)对于n－1阶范德蒙行列式成立，从第n行开始，后行减去前行的倍：按照第1列展开

2、，并提出每列的公因子，就有n−1阶范德蒙德行列式推论2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即分析我们以3阶行列式为例.把第1行的元素换成第2行的对应元素，则定理1行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即推论2行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即综上所述，有同理可得例4设,的元的余子式和代数余子式依次记作和，求分析利用及解四、克莱姆法则定理2如果线性方程组的系数行列式不等于零，即1.克莱姆法则那么线性方程组(

3、1)有唯一解并且解是的，解可以表示成，定理结论的包含三层意思：方程组有解；（解的存在性）解是唯一的；（解的唯一性）解可以由公式(2)给出.这个结论的三层意思是有联系的.应该注意，该定理所讨论的只是系数行列式不为零的方程组.例5解线性方程组解线性方程组常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组，否则称为非齐次线性方程组.齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,…,0)就是它的一个解，称为零解.因此，齐次线性方程组一定有零解，但不一定有非零解.我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存在着非零解.2.线性方程组

4、的相关概念3.齐次线性方程组的相关定理定理3′如果齐次线性方程组有非零解,则它的系数行列式必为零.备注这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有非零解的必要条件.在第四章还将证明这个条件也是充分的.即：齐次线性方程组有非零解系数行列式等于零有非零解？解如果齐次方程组有非零解，则必有.所以时齐次方程组有非零解.设有空间四点若这四点共面，则若这四点不共面，则由其构成的四面体体积为行列式在空间解析几何中的应用设有空间三向量若这三向量共面，则若这三向量不共面，则其张成的平行六面体的体积