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1、行列式的Laplace展开定理一、行列式按一行或一列的展开我们知道，若D为n阶行列式，Aij为行列式元素aij的代数余子式，那么对任意的i≠j，如下四个等式都成立。aA+aA+L+aA=D；aA+aA+L+aA=0；i1i1i2i2inini1j1i2j2injnaA+aA+L+aA=D；aA+aA+L+aA=0。1j1j2j2jnjnj1i1j2i2jninj上式称为n阶行列式按一行（列）展开的定理。我们问：n阶行列式是否可以按二行（列）展开？更一般的，n阶行列式是否可以按k行或k列展开？如果可以，行列式的展开式是怎样的？
2、我们先回顾n阶行列式中元素a的余子式和代数余子式的概念。ij定义1在n阶行列式D中，把元素a所在的第i和第j列划去后，剩下的iji+jn−1阶行列式，称为元素aij的余子式，记为Mij。称Aij=(−1)Mij为元素aij的代数余子式，即aLaaLa111,j−11,j+11naLaaLa212,j−12,j+12nMMMMi+jMij=ai−1,1Lai−1,j−1ai−1,j+1Lai−1,n；Aij=(−1)MijaLaa,Lai+1,1i+1,j−1i+1j+1i+1,nMMMMaLaaLan1n,j−1n,j+1n
3、,n二、行列式的Laplace展开定理为了将n阶行列式按一行（列）展开的定理推广到按k行或k列展开，先把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。定义1在n阶行列式D中，任取k行，k列（1≤k≤n−1)），位于这k行、2k列交点处的k个元素按原来的相对位置组成的k阶行列式M称为D的一个k阶子式。D中划去M所在的行与列后，剩下的元素按原来的顺序构成n−k阶行列式N称为M的余子式。若子式M由行列式D的第i1,i2,L,ik行和1j,j,L,j列相交处的元素构成，则称12kA=(−1)i1+i2+L+ik+j1+j2+L+jkN为M
4、的代数余子式。例如，在5阶行列式1136522743340564669555356中选取第1、4行，第2、3列得到一个2阶子式13M==−12，66那么，M的余子式为243N=356=18；556M的代数余子式为1+4+2+3A=(−1)N=18kkn阶行列式有C⋅C个k阶子式，对每一个k阶子式M，它的余子式N和代nn数余子式A都是由M唯一确定的。定理（Laplace展开定理）在n阶行列式D中，任意取定某k个行（列）(1≤k≤n−1)，则行列式D等于由这k个行（列）元素构成的一切k阶子式Mik(i=1,2,L,C)与其代数余
5、子式A的乘积之和，即nimD=∑MiAi=M1A1+M2A2+L+MmAmi=1kn!其中m=C=。nk!(n−k)!定理的证明从略。显然行列式按一行（列）展开的定理是Laplace展开定理的特例。2三、举例Laplace展开定理表明：一个n阶行列式可用若干个k阶与n−k阶子式计算求得。如果行列式的某k行（列）中含有较多的0，用此定理可是计算大为简化。例1用Laplace展开定理计算1200021200D=0212000212000212解按1，2行展开。这两行共组成C=10个二阶子式，但其中不为零的只5有3个，即12102
6、0M==−3，M==2，M==4123212212对应的代数余子式为1202200201+2+1+21+2+1+31+2+2+3A=(−1)212=−7，A=(−1)012=−6，A=(−1)012=0。123021021021故D=MA+MA+MA=9112233aLa0L0111kMMMMaLabLb111k111raLa0L0k1kk例2证明D==M⋅MMcLcbLb111k111raLabLbk1kkr1rrMMMMcLcbLbr1rkr1rrk证按前k行展开。前k行共组成C个k阶子式，但其中不为零的只有1r+k个，
7、即aLa111kM=M，1aLak1kk对应的代数余子式为3bLbbLb111r111r(1+2+L+k)+(1+2+L+k)A=(−1)MM=MM1bLbbLbr1rrr1rraLabLb111k111r故D=MA=M⋅MM11aLabLbk1kkr1rr练习用Laplace展开定理计算下列各题100203401．。05607008ab0abONab2．计算2n阶行列式D=00。2ncdNOcd0cd3．计算n+1阶行列式1a00L001−11−aa0L00120−11−aaL0023D=MMMM0000L1−aan−1n
8、0000L−11−an。4
