阿贝尔分部求和公式的推广及应用.doc

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1、.关于阿贝尔分部求和公式p1引理（Abel变换）设an,bn是两数列，记Bkbik1,2,...，则i1pp1k1akbkapbpB．k1ak1akkp证明：把等式左边展开得:k1akbkpa1B1k2pakBkBk1pa1B1p1k2akBkp1k2akBk1k1akBkk1ak1BkapBpp1apBpk1ak1akBk上式也称为分部求和公式．a5a4a3a2a1B1B2B3B4B5....上图是当an0,bn0，且an单调增加时，Abel变换的直观的示意．图....中矩形0,B50,a5被分割成9个小矩形，根据所标出的各个小矩形的面积，..即得到p=5的Abe

2、l变换：aak54..abaBkk55k1k1kBk1..x事实上，Abel变换就是离散形式的分部积分公式．记Gxag(t)dt,则分部积分公式可以写成bb..f(xg)ax(dx)f(b)Gb()aGxdf(x)．..将数列的通项类比于函数，求和类比于求积分，求差类比于求微分，..ak1－ak对应于dfx，则两者是一致的．三阿贝耳分部求和公式的推广及应用..（一）关于数论方面的推广和应用定理1设x1，b(n)是一个数论函数，Bxbn．nx..再设ax是区间x1,x2上的连续可微函数，x2>x10.那么有....anbn＝aB＿aB＿x2Bxa'xdx

3、．..x1nx2x2x2x1x1x1....证明：设n1＝x1，n2＝x2．我们有（约定B0＝0）....x1na(n)b(n)=anbnx2x1

4、Bn2，由以上三式即得公式成立．....由阿贝耳求和公式可知，如果我们知道了数论函数bn的均值Bx的渐....进公式，那么，对于满足适当条件的函数ax，数论函数bnan的均值的..渐进公式有可能通过定理公式得到。（二）关于阿贝耳引理及其推广和应用1．关于级数收敛性问题定理2(Abel引理)设..（1）ak为单调数列；....（2））BkkbBki,ki11,2,...为有界数列，即存在M>0,对一切k，成..立BkM，则....pabkkMk11a2ap．..证明：由Abel变换可得，..由于akpabkkk1单调，所以apBpp1aaBk1kkk1

5、Mapp1aak1kk1....p1ak1k1ak＝apa1．....pabkkMk11a2ap....定理1（级数的Abel判别法）anban单调有界，n收敛，则级数bnn1n1..敛．..证明：设anM，由于n收敛，则对于任意给定的＞0，存在正整bn1..数N，使得对于一切n>N和pN,成立pnbk＜.k1npnba对于kk应用Abel引理，即得k1n..pnbakk＜k1nan12apn3M.....定理2（阿贝耳定理）设an＝s,则limnanx＝s...n0x1n0..证明：容易看出nanx＝f(x)在0n0x1上为一致收敛．事实上，对...

6、.np任给正数，有N使得当n>N时akkn＜．从而由阿贝耳引理可知同时有....npxxnakk＜，只要0knx1．因此由函数数项级数的连续性定理可得..limf(x)＝f(1)＝s.x1..定理2(级数乘法原理)令cna0bna1bn1...anb0．又设级数....an,bn,cn都收敛．则cabnn．nn0n0n0..证明：因为绝对收敛的级数可以相乘，因此xacxbxnnnnnnn0n0n0..＝s1(x)s2(x)（0x1）..于是由阿贝耳定理便可得到..cnlimncnx＝lims1(x)s2(x)＝lims1(x)lims2(x)..n

7、0x1n0x1x1x1..abss＝1(1)2(1)＝nn．n0n0例题1试证..111121111111111..2(1234...)(1)232142351234n11.....证明：应用阿贝耳关于级数乘法的定理，取an＝bn＝a0=b0=0,则有n（n=1,2,3,⋯）,n..cn＝a1bn1a2bn2．．＋an1b1＝1n，..此处....111＝...1(n2)..n1n12n23n3n11....显然有nn=(1+1)+(2+n11n2)+⋯+