有限阿贝尔覆盖及其应用

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1、华东师范大学博士学位论文有限阿贝尔覆盖及其应用姓名：高云申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：谈胜利;陈志杰20070401有限阿贝尔覆盖及其应用摘要本文的主要目的是建立Abel覆盖的一般方法，并给出几个有趣的应用．覆盖理论是代数几何研究的重要工具．要建立覆盖理论’关键是要解决以下几个基本问题：o)定义覆盖的简单数据的确定；0I)正规化的计算；(ⅡI)分歧轨迹的确定；∞，)找出奇点解消的有效方法；∽不变量的计算等．二次覆盖，三次覆盖，循环覆盖都有了成熟的理论，从它们简单的定义方程出发，其相应的基本问题都得到了解决．为了代数曲面的分类和构造新雎面的需

2、要，从上世纪90年代开始，很多代数几何学家如Pardini都希望建立Abel覆盖的基本理论．但是到目前为止，这些基本问题还未解决．Abel覆盖也没有象二次覆盖、三次覆盖和循环覆盖那佯得到了有效地应用．本文首先证明Abel覆盖有一组标准的定义方程．由此出发，计算出了Abel覆盖的正规化．因此，确定出Abel覆盖的分歧轨迹及其分歧指数；找到了奇点解消的标准方法；给出了不变量的计算公式．因此解决了Abel覆盖的上述基本问题．利用本文所建立的Abel覆盖的方法，我们解决了下面几个有趣的问题．第一我们构造了82个—般型代数曲面，他们的不变量满足鼋=3c2．构造这

3、种类型的曲面是—个具有挑战性的问题．有很多知名的数学家都曾考虑过这个问题，比如：Mumford，Hirzebruch，Mostow,萧荫堂和Horikawa等．值得注意的是Hirzebruch构造的4个曲面的不规则性q的计算也是非平凡的．Ishida和Hironaka还专门写文章来计算它．而利用本文的结果，我们得到了任意Abel覆盖曲面的q的计算公式．第二，我们对典范映射是俨上的次数至少为4的Abel覆盖的曲面进行了分类．特别地，我们发现了4个典范次数是16的新曲面，这是目前所知道的典范映射次数最高的曲面的例子．典范映射性态的研究是代数曲面理论中的一个

4、困难问题．从上世纪50年代开始，很多代数几何学家研究过它，如Kodaira,Bombieri，BeauviUe，肖刚和Persson等．但具有高次数典范映射的曲面的存在和分类问题还仍然是一个未解决的问题．1978年，Persson构造了第一个典范映射次数为16的曲面．他的构造基于一类Campadelli曲面，而后者的构造也是非平凡的．第三'我们给出了一个经典不等式lGl≤49+4的新证明，这里，G是一条亏格9≥2的曲线的Abel自同构群．特别是，我们还给出了满足IGl≥49一4的曲线的完整分类．关键词Abel覆盖，正规化，奇点解消，典范映自屯不正规性，

5、球商曲面，自同构群FiniteabeliancoversandapplicationsAbstractThemainpurposeofthisthesisistodevelopageneralmethodofabeliancoversandtogivesomeinterestingapplications．Thetheoryoffinitecoversisanimportanttoolinalgebraicgeometry．InordertoestablishthetheoryoffiniteCOV∞3，thecrucialpointsaretosol

6、vethefollowingbasicproblems：(I)findoutthedefiningdataofthecovel一3；OI)computethenormalizationofthecovers；㈣determinethebranchlocus；0v)giveaneffectivemethodtoresolvethesingularities；(v)compumthebasicinvariantsandsoon．Doublecover8．triplecover8andcycliccovers撇wellunderstood,andthebas

7、icproblemshavebeensolvedstartingfromthesimpledefiningequations．Inordertocon-stractandclassi母algebraicsurfaces，softiealgebraicgeometers，suchasR．Pardini，have舡iedtoestablishthebasictheoryofabeliancoverssince1990s．However,印tonow,thebasicproblemshaven’tbeensolvedyet,andabelianCOVETSh

8、avenotbeenusedaseffectivelyasdoublecovcr$，tripl