插值和拟合备课讲稿.doc

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1、精品好文档，推荐学习交流插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分 他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义 在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的 目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。 简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通 过调整该函数中若干待定系数f(λ1,λ2,…,λ3),使得该函数与已知点集的 差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者 线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表 达式也可以是分段函数，这种情况

2、下叫作样条拟合。 而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数值或者导数信息，通 过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给 定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在 整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有 函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。 从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式 未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个( 或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。一、概念的引入1.插值与拟合在现实生活中的应用l机械制造

3、：汽车外观设计l采样数据的重新建构：电脑游戏中场景的显示，地质勘探，医学领域（CT）2.概念的定义仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢15精品好文档，推荐学习交流l插值：基于[a,b]区间上的n个互异点，给定函数f(x)，寻找某个函数去逼近f(x)。若要求φ(x)在xi处与f(xi)相等，这类的函数逼近问题称为插值问题，xi即是插值点l逼近：当取值点过多时，构造通过所有点的难度非常大。此时选择一个次数较低的函数最佳逼近这些点，一般采用最小二乘法l光顾：曲线的拐点不能太多，条件：①二阶几何连续②不存在多余拐点③曲率变化较小l拟合：曲线设计过程中用插值或

4、通过逼近方法是生成的曲线光滑(切变量连续)光顾二、插值理论设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，在[a,b]上有互异点x0,x1,…,xn处取值y0,y1,…,yn。如果函数φ(x)在点xi上满足φ(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)，则称φ(x)是函数y=f(x)的插值函数，x0,x1,…,xn是插值节点。若此时φ(x)是代数多项式P(x)，则称P(x)为插值多项式。显然f(x)≈φ(x)，x∈[a,b]1.拉格朗日插值构造n次多项式Pn(x)=yklk(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x)，这是不超过n次的多项式，其中基函数

5、lk(x)=显然lk(x)满足lk(xi)=此时Pn(x)≈f(x),误差Rn(x)=f(x)-Pn(x)=其中∈(a,b)且依赖于x，=（x-x0）(x-x1)…(x-xn)很显然，当n=1、插值节点只有两个xk,xk+1时P1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢15精品好文档，推荐学习交流其中基函数lk(x)=lk+1(x)=2.牛顿插值构造n次多项式Nn(x)=f(x0)+f(x0,x1)(x-x0)+f(x0,x1,x2)(x-x0)(x-x1)+…+f(x0,x1,x2,…,xn)(x-x0)(

6、x-x1)…(x-xn)称为牛顿插值多项式，其中(二个节点，一阶差商)(三个节点，二阶差商)(n+1个节点，n阶差商)注意：由于插值多项式的唯一性，有时为了避免拉格朗日余项Rn(x)中n+1阶导数的运算，用牛顿插值公式Rn(x)=f(x)-Nn(x)=f(x,x0,…,xn)ωn+1(x),其中ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)3.分段插值------子区间内，避免函数在某些区间失真1）线性插值已知n+1个不同节点x0,x1,…,xn,构造分段一次线性多项式P(x)，使之满足lP(x)在[a,b]上连续lP(xk)=yklP(x)在[x

7、i,xi+1]上是线性函数，P(x)=2）两点带导数插值---避免尖点、一阶连续仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢15精品好文档，推荐学习交流区间[a,b]上两个互异节点xi,xi+1，已知实数yi,yi+1,mi,mi+1，为了构造次数不大于3的多项式满足条件引入,使之满足可以求出此时=+，其中4.三次样条插值------二阶可导对于给定n+1个不同节点x0,x1,…,xn及函数值y0,y1,…,yn，其中a=x01<…n=b。构造三次样条插值函数S(x)。S(x)称为三次样条函数时需满足：lS(x)在[a,b]上二阶导数连续lS(xk)=yk(

8、k=0,1,…,n)l每个子区间[xk,xk+1]上S(x)是三次