工程计算4插值和拟合

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1、SummerGrassFadeArialFontFamily2021/10/524插值和拟合4.1引言4.2插值4.3分段低次插值4.4三次样条插值4.5正交多项式4.6离散数据的曲线拟合2021/10/534.1引言4.1.1函数的插值4.1.2离散数据的拟合插值和拟合都是在给定点列{xi，yi}0n的条件下，按照某些原则，确定一个近似函数。二者的区别在于，插值要求给定点列必须在近似函数中，拟合则无此要求。2021/10/544.1引言4.1.1函数的插值区间[a，b]上的连续函数的全体记为C[a，b]定义4.1.1设y=f(x)∈C[a，

2、b]，已知f在C[a，b]上n+1个互异点a≤x0,x1,…,xn-1,xn≤bxi≠xj（i≠j）的值yi=f(xi)（i=0，1，2，…，n）如果有不超过n次的多项式Ln(x)=c0+c1x+c2x2+…+cnxn2021/10/554.1引言满足Ln(xi)=yi（i=0，1，2，…，n）(4.1)称Ln(x)为f(x)在区间[a，b]上通过点列{xi,yi}0n的插值多项式。其中，[a，b]称为插值区间，{xi,yi}0n称为插值节点，xi称为插值点，f(xi)称为插值函数，(4.1)称为插值条件。2021/10/564.1引言定理4

3、.1.1由式(4.1)确定的插值多项式Ln(x)存在唯一。插值的工程背景函数插值的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性2021/10/574.1引言4.1.2离散数据的拟合如果离散数据本身有误差。则不必强调近似函数一定通过所给定的序列。为此需要增加条件以确定近似函数y=(x)⑴选择(x)由此决定建立的是线性还是非线性数学模型。⑵确定数学模型中的参数拟合的基本问题：存在性、唯一性、构造方法、截断误差、收敛性、数值稳定性。2021/10/584.2插值4.2.1拉格朗日插值法4.2.2插值的余项4.2.3均差和牛顿

4、插值2021/10/594.2插值4.2.1拉格朗日插值法已知点列{xi，yi}0n，确定插值多项式n=1时，点列包含2个点，{x0，y0}和{x1，y1}，则只能做一条直线。2021/10/5104.2插值n=2时，点列包含3个点，{x0，y0}、{x1，y1}、{x2，y2}可做不超过2次的多项式2021/10/5114.2插值推广到一般情况，定义n+1个n次多项式称为拉格朗日插值基函数。2021/10/5124.2插值n=2时的基函数2021/10/5134.2插值n=3时的基函数2021/10/5144.2插值插值基函数满足(k，i=

5、0，1，2，…，n)插值函数为如果取函数为f(x)=1，则yk=1(k=0,1,2,…,n)，有2021/10/5154.2插值4.2.2插值的余项令如果f(x)C2[a，b]，采用线性插值，令Rn(x)=f(x)Ln(x)则则2021/10/5164.2插值4.2.3均差和牛顿插值定义一阶差商如果取点斜式，则得到另一种形式的插值公式。如n=1时N1(x)=y0+f[x0，x1](xx0)2021/10/5174.2插值当n=2时，再定义一阶差商和二阶差商并有N2(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0，x1，x2](

6、xx0)(xx1)2021/10/5184.2插值对一般情况，定义各阶差商2021/10/5194.2插值差商的性质：1)线性性如果f(x)=ay(x)+bz(x)2)3)对称性：2021/10/5204.2插值4)n次多项式关于x，xi的一阶差商为n-1次多项式则Ln(x)仍为n次多项式，且Ln(xi)=0，所以设Pn(x)为n次多项式，令Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)Ln(x)=Pn(x)-Pn(xi)=(x-xi)Pn-1(x)其中Pn-1(x)为n-1次多项式，从而有2021/10/5214.2插值差商表2021/10/52

7、24.2插值牛顿插值多项式f(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]f[x，x0]=f[x0，x1]+(xx1)f[x,x0,x1]f[x,x0,x1]=f[x0,x1,x2]+(xx2)f[x,x0,x1,x2]………f[x,x0,…,xn-1]=f[x0,x1,…,xn]+(xxn)f[x,x0,…,xn]f(x)=f(x0)+(xx0)f[x，x0]+(xx0)(xx1)f[x0,x1,x2]+(xx0)(xx1)…(xxn-1)f[x0,x1,…,xn]+(xx0)(xx1)…(xxn)f[x,x0,…,

8、xn]=Nn(x)+Rn(x)2021/10/5234.2插值插值函数为Nn(x)=f(x0)+f[x0，x1](xx0)+f[x0,x1,x2](xx0)(x