4插值及拟合方法

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1、第4章插值与拟合方法1问题的描述与基本概念已知上实函数在个互异点处的函数值要求估算在中某点的值.1091）插值问题的描述找近似函数P(x)，满足lP(x)称为f(x)的一个插值函数;lf(x)称为被插函数;点为插值节点;l称为插值条件;l称为插值余项。109当插值函数是多项式时称为多项式插值.为获得唯一的插值多项式，设用表示次数不超过的多项式集合.109定理1中满足插值条件的插值多项式是存在且唯一.证明仅证唯一性.设且都满足插值条件，于是有令那么.因为所以有n+1个零点.由代数基本定理有，因此。1092Lagrang

2、e插值时，设，满足时，设，满足.将写成其中是二次多项式，满足可求得例一已知数表x013y=f(x)132用抛物插值计算的近似值.109一般地，其中具有性质称为Lagrange插值多项式，而称为Lagrange插值基函数例二证明：109定理2设在[a,b]上连续，在（a,b）上存在，互异节点是满足插值条件的插值多项式，则有对任何成立式中109设在[a,b]上有n+1阶导数，若能得到，则有余项估计式109例三证明由下列插值条件xy=f(x)所确定的Lagrange插值多项式是一个二次多项式.1093Newton插值1)构

3、造原理已知数表设插值多项式为借助插值条件可求出的系数.当时，有得出.当时,有可得109依次取并利用插值条件就可依次解出，从而求出的具体形式。为将解出的系数用公式表示出来，引进差商的概念.称为函数关于节点的零阶均差，称为函数关于节点的一阶均差，称为函数关于节点的二阶均差.一般地，有了阶均差后，称109为函数关于节点的阶均差.均差性质2均差关于节点是对称的3在上存在阶导数，则均差与导数关系为例一设求109和2)分析把后式依次代入前式可有其中为Newton插值多项式，为均差型插值余项.109由插值多项式唯一性可有设可得10

4、9差商表xf(x)一阶差商二阶差商…n阶差商109例二已知数表x013y=f(x)132用二次Newton插值计算的近似值.109练习一给定数表x124568f(x)028121828试用二次和四次Newton插值多项式计算的近似值.练习二假定定义在上,又是中互异的点,证明练习三设为关于节点的次Lagrange插值多项式，证明下列递推关系109设函数在等距节点上的值为已知，这里常数称为步长.记号分别称为在处以为步长的一阶向前差分及一阶向后差分.一般可定义阶差分为109均差与差分的关系证明：时，命题成立.假设时命题成立

5、，时，命题成立.由数学归纳法，命题成立.109Newton插值多项式为由均差与差分的关系，等距节点的Newton插值多项式可改写为令则有Newton前插公式109均差与向后差分有关系运用此关系并令可得Newton后插公式109差分表1094.Hermite插值中满足条件的多项式称为Hermite插值多项式.设为次数不超过的多项式，并满足条件109Hermite插值多项式可写成以下求设利用可得因为所以109于是同理三次Hermite插值基函数为类似于前面证明插值多项式唯一性可证明中满足条件的Hermite插值多项式具有

6、唯一性.类似前面导数余项形式的推导可得109例一按表求Hermite插值多项式1095.分段低次插值1)定义分段线性插值函数取[a，b]上n+1个节点及函数值若函数满足①（k=0，1，…，n）,②在每个小区间[]是线性插值多项式.则称为在[a，b]上的分段线性插值函数易知在[a，b]上连续.分段三次Hermite插值函数若分段插值函数满足且在[]是三次多项式，则称为分段三次Hermite插值函数.易知.1092)构造原理分段线性插值函数的构造设为任何连个相邻插值点，于是在[]上分段线性插值函数是一次多项式.利用[]上

7、的插值数据用n=1的Lagrange插值构造，于是有109分段三次Hermite插值函数设[]是任何两个相邻节点构成的区间，在[]上的插值数据为则,式中.1093）分析定理1假设出现在如下不等式中的函数的高阶导数存在，记，则有1.分段线性插值的误差估计为2.分段三次Hermite插值函数的误差估计为证明只对结果2给出证明，结果1可类似证明。由两点的Hermite插值余项可知，在区间上，分段三次Hermite插值函数与被插值函数的误差关系式109又因为故对k=0，1，…，n有注意到上式右端与x属于哪个小区间无关，这就证

8、明了结果2.109三次样条插值定义设函数定义在区间上，对给定的一个分划若满足下列条件①在上有二阶连续导数,②在每个小区间都是一个三次多项式,则称函数是关于分划△的一个三次样条函数，若同时还满足③则称是在上关于划分△的三次样条插值函数。1096最佳平方逼近和曲线拟合最小二乘法1）最佳平方逼近定义1设是上非负函数，满足①存在②对上的非负连续函数,如