4插值与拟合方法课件-11

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1、第4章插值与拟合方法插值与拟合方法是用有限个函数值去推断或表示函数的方法，它在理论数学中提到的不多。本章主要介绍有关解决这类问题的理论和方法，涉及的内容有多项式插值，分段插值及曲线拟合等。对应的方法有Lagrange插值，Newton插值，Hermite插值，分段多项式插值和线性最小二乘拟合。1444.1实际案例4.2问题的描述与基本概念先获得函数（已知或未知）在有限个点上的值……由表中数据构造一个函数P(x)作为f(x)的近似函数，去参与有关f(x)的运算。科学计算中，解决不易求出的未知函数的问题主要采用插值和拟合两种方法。1441）插值问题的描述已知函数在[a,

2、b]上的n+1个互异点处的函数值，求f(x)的一个近似函数P(x)，满足（4.1）lP(x)称为f(x)的一个插值函数;lf(x)称为被插函数;点为插值节点;l称为插值条件;l称为插值余项。144当插值函数P(x)是多项式时称为代数插值（或多项式插值）。一个代数插值函数P(x)可写为若它满足插值条件（4.1），则有线性方程组（4.2）144当m=n，它的系数行列式为范德蒙行列式因为插值节点互异，，故线性方程组（4.2）有唯一解，于是有定理4.1当插值节点互异时，存在一个满足插值条件的n次插值多项式。144定理4.2满足插值条件(4.1)的n次插值多项式是唯一的。证明

3、设是两个满足插值条件(4.1)的n次插值多项式，于是有令显然有是次数≤n的多项式，且说明有n+1个零点，由代数基本定理有H(x)º0，由此得。144插值的一个目的是对函数作近似计算。假设[a,b]是包含插值点的最小闭区间，当用插值函数P(x)来近似计算x在[a,b]的函数值时，称为内插计算，否则称为外插或外推计算。1442）拟合问题的描述已知在[a,b]上的n+1个(互异或不互异)点处的函数值，求f(x)的一个近似函数，满足拟合条件这里是n+1维向量，是某种范数，，。求出的称为拟合函数。1443）插值函数和拟合函数的几何解释1)插值函数图示2）拟合函数图示1444.

4、3插值法1.Lagrange插值Lagrange插值是n次多项式插值。基本思想将待求的n次多项式插值函数改写成用已知函数值为系数的n+1个待定n次多项式的线性组合型式，再利用插值条件和函数分解技术确定n+1个待定n次多项式形式求出插值多项式。1441)构造原理已知数表……设n次插值多项式（4.3）式中是与无关的n次多项式。由插值条件（4.1），有144由于与无关，可得（4.4）为确定，注意到是n次多项式，由式（4.4）可知式中a为待定常数，由确定，于是有（4.5）代入式（4.3），有144（4.6）由n次插值多项式的唯一性，可知就是所求的n次插值多项式。式（4.6）

5、称为n次Lagrange插值多项式，而称为Lagrange插值基函数。1442)分析定理4.3.设函数在[a,b]上有n+1阶导数，是满足插值条件的n次插值多项式，则有对任何成立式中。144证明因为，故有于是Rn（x）可分解为（4.8）为求出k(x)，做辅助函数（4.9）则有在时，g(t)=0，即g(t)在[a,b]上有n+2个零点。144显然g(t)在由组成的n+1个小闭区间上满足Rolle中值定理，故g'(t)在[a,b]上有n+1个零点。类似的有g²(t)在[a,b]上有n个零点，反复运用Rolle中值定理，有在[a,b]上有1个零点，设为x，则有。在式（4.

6、9）两边对t求n+1阶导数，有将t=x代入上式，解得代入式（4.8），即得定理结果。144定理4.3中若能算出在[a,b]上的最大值，则有余项估计式（4.10）此式可以估计插值函数在某一点的误差，若想估计函数在插值区间[a,b]上的误差，则要计算出。在整个插值区间[a,b]上的误差估计为（4.11）144由n次插值多项式的唯一性及式（4.7），得到有如下重要结果定理4.4若函数f(x)在[a,b]上有n+1阶导数，则f(x)可表示为对n=1的插值多项式，称为线性插值；n=2的插值多项式称为抛物线插值或辛普森插值.144例4.1已知的函数表为x3.03.13.23.3

7、3.4y=f(x)1.0986121.1314021.1631511.1939221.223775试用线性插值和抛物线插值分别计算的近似值，并估计相应的误差。解线性插值需要两个节点，内插比外推好，因为，故选，由的Lagrange插值公式，有所以有144为保证内插，对抛物线插值，选取三个节点为由n=2的Lagrange插值公式，有故有144考虑误差.当时，有，所以线性插值计算的误差估计为而当时，，故抛物线插值计算的误差估计为144例4.2在上给出的等距节点函数表，若想用二次插值来计算的近似值，并要求截断误差不超过，问此函数表的步长h应为多少？解设为上的等距节点。二