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1、插值和拟合都是函数逼近或者数值逼近的重要组成部分,他们的共同点都是通过已知一些离散点集M上的约束，求取一个定义在连续集合S(M包含于S)的未知连续函数，从而达到获取整体规律的目的，即通过"窥几斑"来达到"知全豹"。简单的讲，所谓拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1,λ2,…,λ3),使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。而插值是指已知某函数的在若干离散点上的函数
2、值或者导数信息，通过求解该函数中待定形式的插值函数以及待定系数，使得该函数在给定离散点上满足约束。插值函数又叫作基函数，如果该基函数定义在整个定义域上，叫作全域基，否则叫作分域基。如果约束条件中只有函数值的约束，叫作Lagrange插值，否则叫作Hermite插值。从几何意义上将，拟合是给定了空间中的一些点，找到一个已知形式未知参数的连续曲面来最大限度地逼近这些点；而插值是找到一个(或几个分片光滑的)连续曲面来穿过这些点。一、插值与拟合的概念1.插值：对于原函数y=f(x)，在区间[a,b]上取n个样本点：若存在一个简单的函数p(x)满足，则称p(x)为f(x)的插值函数
3、。2.拟合：根据已知的样本点，用一个较简单的函数p(x)去逼近一个复杂或未知的函数f(x)。3.二者的区别与联系：插值函数要求经过已知样本点，一般在采样区间[a,b]内，采样点越密，插值函数p(x)与原函数f(x)越接近，常用插值函数估计区间[a,b]内某点的函数值；拟合函数则不一定要经过采样点，只希望拟合出来的曲线尽量靠近采样点，使总体偏差最小，常用的最优标准是最小二乘法。它常用来预测原函数曲线的走向。两者都是用一个较简单的函数p(x)去估计一个复杂或未知的函数f(x)。二、数据插值1.matlab函数：interp1,interp2,interp3,interpn,s
4、pline等。（1）YI=interp1(X,Y,XI,'method'),其中method:'linear','nearest','cubic','spline'。例：%取样本x=0:10;y=sin(x);%预测xi=0:0.25:10;yi=interp1(x,y,xi,'spline');plot(x,y,'o',xi,yi)%yi=spline(x,y,xi);2.拉格朗日插值对于给定的n个样本点，其拉格朗日插值函数为：,注：n-1次其中：例：利用100，121，144的算术根求115的算术根。程序：functiony1=lagrangeinter(X,Y,x1
5、)%y1=lagrangeinter(X,Y,x1)是拉格朗日插值%X,Y样本点坐标列向量%x1,y1是要预测的点y1=0;n=length(X);a=zeros(n-1,1);fori=1:nifi==1a=X(2:n,1);y1=y1+Y(1)*(polyval(poly(a),x1))/(polyval(poly(a),X(1)));elseifi>=2&i<=n-1a(1:i-1,1)=X(1:i-1,1);a(i:n-1,1)=X(i+1:n,1);y1=y1+Y(i)*(polyval(poly(a),x1))/(polyval(poly(a),X(i)));
6、elsea=X(1:n-1,1);y1=y1+Y(1)*(polyval(poly(a),x1))/(polyval(poly(a),X(n)));endend%调用拉格朗日插值函数X=[100121144]';Y=[101112]';x1=115;y1=lagrangeinter(X,Y,x1)%y1=interp1(X,Y,x1)3.牛顿插值希望构造一种具有“承袭性”的多项式函数。对于给定的n+1个样本点，其牛顿插值函数为：其中：function[A,y1]=newinter(X,Y,x1)%y1=newinter(X,Y,x1)ÊÇÅ£¶Ù²åÖµ%X,YÑù±¾µ
7、ã×ø±êÁÐÏòÁ¿%x1,y1ÊÇÒªÔ¤²âµÄµãy1=0;n=length(X);A=zeros(n,n);A(:,1)=Y;forj=2:nfori=j:nA(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1)/(X(i)-X(i-j+1));endendP=1;q=[1];fork=1:n-1p=polyval(poly(X(1:k,1)),x1);Q=[Q,P];endy1=0;fort=1:ny1=y1+A(t,t)*Q(t);end例：已知y=f(x)的曲线上的4个样本点,试求f(6)。x=[1,2,4,8
